Урок 1. Натуральные числа. Делители натурального числа.

Натуральные числа – это числа, которые мы используем для счета:

1, 2, 3, …, n, ...

         Можно представить, что натуральный ряд – это бесконечная прямая дорога, на которой расставлены метки. На больших дорогах, идущих от крупных городов, обычно стоят столбы, которые отмечают по порядку километры. А мы отметим на бесконечной дороге столбы с натуральными числами, начиная с 1.

В натуральном ряде у каждого числа, кроме первого, имеются два соседних: число, ему предшествующее и число, за ним следующее. Например, соседи числа 3 – это 2 и 4.

         Если обозначить какое-либо натуральное число, большее 1 латинской буквой n,

то предшествующее ему число будет n – 1,

а следующее за ним число n+1.

Что такое делитель натурального числа?

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить 20 яблок между 6 ребятами (не разрезая), то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся.

Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делителем натурально числа n называют такое натуральное число, на которое число n делится без остатка.

Запишем все натуральные делители числа 20.

Такими числами являются 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Чтобы быстро находить делители числа, нужно знать признаки делимости чисел. С признаками делимости чисел познакомимся на следующем уроке.

         Разминка для ума

Задача 1.

Многоголовый змей знает 105 слов, причем каждая голова знает одинаковое количество слов и разные головы не знают одного и того же слова. Сколько голов у змея, если их больше 10, но меньше 20?

Какое наименьшее количество голов нужно использовать змею, чтобы сказать 40 разных известных ему слов?

Задача 2.

Разделите 5 яблок, находящихся в корзине, между пятью друзьями так, чтобы каждый получил по одному яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Урок 2. Признаки делимости

Для того, чтобы написать число, мы пользуемся цифрами.

Всего используется десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0.

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Как известно, классе, чтобы умножить натуральное число на 10, нужно к записи этого числа дописать справа один нуль, например, 137 * 10=1370.

Поскольку 10 является делителем числа 1370, то число 1370 делится на 10. В общем, на 10 делятся все числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Число, запись которого не оканчивается цифрой 0, например, 457, на 10 не делится.

Натуральное число, запись которого оканчивается на 0, делится на 10.

Найдём признак делимости на 5. Для этого разделим на 5 некоторые числа, например, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.

Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 5, а во второй – те, которые не делятся на 5.

 140                       19

 245                       82

 515                       344

 630                       1027

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0 или 5, делится на 5.

Числа, которые делятся на 2 называют четными, а числа, которые не делятся на 2 называют нечетными. Например, 24 – число четное, поскольку оно делится на 2, а число 25 – нечетное, поскольку оно не делится на 2.

Однозначные числа 0, 2, 4, 6, 8 являются четными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 – нечетными. В натуральном ряде четные и нечетные числа чередуются.

Запись каждого числа, которое делится на 2, оканчивается однозначным четным числом. Если запись числа оканчивается однозначным нечетным числом, то оно на делится на 2.

Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным четным числом, делится на 2.

Медиана как статистическая характеристика

Рассмотрим ещё одну статистическую характеристику.

Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 9 квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа от него записано 4 числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведем другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили десятую. Получили такую таблицу:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел

(78+82):2= 80. Число 80 не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы – слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять  членов ряда:                                                       64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

Говорят, что медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное по середине,

а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посредине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда чисел

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n-1 членов, то медианой ряда называется n-й член, так как n-1 членов стоит до n-го члена и n-1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n и  n+1 местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит среднее значение, т.е. медиану.

Рассмотрим еще пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17 и 18 членов, т.е. равна (3+4):2=3,5.

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как половину всех сотрудников составляют те, которые приобрели не более 3 акций.

Вообще среднее арифметическое зависит от значений всех членов в упорядоченном ряду данных, в том числе и от значений крайних членов, которые часто бывают наименее характерными для рассматриваемой совокупности данных. Поэтому при анализе данных сведения о среднем арифметическом часто дополняются указанием медианы.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике, при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют какой-либо из этих показателей, либо два из них, либо даже все три.

Среднее арифметическое, размах и мода

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Имея этот ряд данных, можно определить сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и сумму разделить на 12.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем по  27 мин. Проводя аналогичные наблюдения за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течении недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т.п. Заметим, что для серьёзных выводов о загруженности учащихся домашними заданиями необходимо выделить для наблюдений значительно большую группу, чем 12 человек (учащихся).

Среднее арифметическое представляет собой то значение величины, которое получается, когда сумма всех наблюдений мысленно распределяется поровну между единицами наблюдения.

Например, выделив среднее арифметическое удоев молока, полученных за сутки на ферме от всех коров, мы найдём тот удой, который получили бы за сутки от одной коровы, если бы все коровы давали одинаковое количество молока, то есть найдём среднесуточный удой молока на ферме от одной коровы.

Аналогично находят среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, среднюю выработку рабочего бригады за смену и т.п.

Вместе с тем, иногда вычисление среднего арифметического не дает полезной информации.

Например, целесообразно использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве, средний размер обуви, которую носят учащиеся школы.

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 мин., т.е. среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин., а наименьший - 18 мин.

Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19. 

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течении суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебания температуры в течении этих суток.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичными для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего.

Нетрудно заметить, что таким числом является число 25 - мода рассматриваемого ряда.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 53, 47, 52

две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа - менее трех раз.

В ряду чисел

69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72

моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.

Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Среднее арифметическое в этом случае не дает полезной информации.

Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространенной на рынке, и т.п.

Рассмотрим ещё пример. Пусть проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.      Получим

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

Вычислим среднее арифметическое:

 - 37 (приблизительно)

Размах ряда равен 39-35=4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.

Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

Среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из чисел ряда, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.

Кроме того, в отличии от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным.

Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающих, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из телевизионных развлекательных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Слово «статистика» происходить от латинского слова «status», которое означает «состояние, положение вещей».

Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, перевозку грузов и пассажиров отдельными видами транспорта, природные ресурсы и т.п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

 Статистические характеристики

1. а) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 7, 3, 5, 0, 1, 3, 6, 4, 2, 3. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

Решение:

Упорядочим данные:

0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

Размах: 7–0=7

Мода: 3 – встречается чаще всего

Медиана: В данном числовом ряду 10 чисел и имеются два числа, находящиеся в середине ряда: 3 и 3. Найдем среднее арифметическое этих чисел  

Среднее арифметическое:   

     б) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 0, 3, 1, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 2. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

2. В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в течении года (по месяцам). Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии, размах приведенного ряда чисел, моду данного ряда чисел, медиану этого ряда чисел.

а)

б)

3. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3а+1, а-3, 2а+8, 2а+6

Решение:

б) 2а-3, 3а-1, 4а+5, 3а+7.

4. а) Среднее арифметическое пяти чисел равно 3,7. К этим числам приписали ещё число 5,5. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Решение:

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=3,7*5

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=18,5

     б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 4,6. К этим числам приписали ещё число 7,0. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Прямая и ее части

Через две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

Если две прямые пересекаются, то в единственной точке. В двух точках пересекаться они не могут, так как через любые две точки можно провести единственную прямую.

Части прямой – это отрезок и луч

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Каждый отрезок имеет длину, большую нуля.

Равными называются отрезки, которые совпадают при наложении

Если на отрезке отметить точку, то она разобьет его на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Поэтому он бесконечен в одну сторону. Два луча называют противоположными если они имеют общее начало и дополняют друг друга по прямой.

Фигура, которую можно составить из отрезков, последовательно соединенных концами, - ломаная.

Если начало первого отрезка, совпадает с концом последнего, то такая ломаная называется замкнутой. Если звенья ломаной не пересекаются и соседние звенья не лежат на одной прямой, то такая ломаная называется простой.

Задачи

Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=12 см, ВС=13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?

Вывод: рассмотреть все случаи расположения точек относительно друг друга

На отрезке АВ, равном 20 см, взята точка С. Отрезок АС на 6 см больше отрезка СВ. Найдите длину отрезка СВ

На отрезке МN лежит точка К. Отрезок MN = 36 см, МК в 2 раза меньше KN. Найти KN.

М середина отрезка АС. ВМ=8 см. АВ:ВМ=2:1. Найдите АС.

Задача.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tg B.

Решение:

Противолежащий катет АС=27

Прилежащий катет ВС=9

Задача.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B=8/5, BC=20. Найдите AC.

Решение:

В ∆ АВС: АС – противолежащий катет, ВС – прилежащий катет, тогда по определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи на треугольники (и всё, что с ними связано)

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

  , подставляем значение   

И находим длину стороны этого треугольника

  значит, а = 48

(одинаковые элементы справа и слева от знака «=» взаимно уничтожаются)

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, описанной вокруг этого треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»

похожий чертеж:

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 30^о. Ответ дайте в градусах.

О чем задача –

1. О треугольнике, вокруг которого описана окружность
2. Об описанной окружности, центр которой лежит на стороне АВ

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то    треугольник – прямоугольный, а сторона, на которой лежит центр описанной окружности - гипотенуза этого треугольника

Смотрим на чертеж – угол АСВ = 90^о, угол ВАС = 30^о

Так как сумма углов треугольника равна 180^о и АСВ = 90^о, значит

угол АВС = 90^о – 30^о = 60^о

Чертеж на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1 х 1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

1. О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге
2. О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Находим, как вычислить площадь треугольника – чертеж и формула

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Формула площади треугольника

а = 7 ед.

h = 4 ед.

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О гипотенузе данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Гипотенуза – напротив прямого угла и это самая длинная из сторон

Применим формулу

  тогда с = 17

(Иногда полезно знать Пифагоровы тройки, но на экзамене лучше решать по формуле)

Рассмотрим похожую задачу

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О катете данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Отсюда катет равен

  (таблица квадратов есть в справочных материалах)

Тогда b = 9

Вектор - это отрезок, имеющий направление, поэтому, при решении задач надо придерживаться некоторых правил

Нельзя "крутить" вектор просто так: повернете - это уже будет совсем другое направление.

При сложении векторов используйте правило треугольника, параллелограмма и многоугольника

Пользуйтесь правилами и законами сложения векторов.

Например,

Чертеж на клетчатой бумаге.

         Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами.

В данных задачах размер клетки указан и выполняет роль линейки. Можно посчитав «по клеточкам» найти необходимые длины и решить задачу.

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге

О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Выбрать формулу площади треугольника для чертежа:

Посчитать «по клеточкам» - найти необходимые длины

а = 7 ед.

h = 4 ед.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Используйте клетки как линейку – длина 1 клетки равна 1, значит длина большей диагонали ромба равна 10 клеткам = 10.

Для подготовки к ОГЭ пройди по ссылке