Решение задач с помощью уравнений 6 класс
Решение задач с помощью уравнения (уровень Б)
Многие задачи можно решить с помощью уравнений, следуя простому алгоритму (порядок действий):
- Обозначить за х искомое неизвестное (или выбрать из условия величину, которую можно принять за х)
- Перевести на математический язык условие задачи и составить уравнение
- Решить полученное уравнение
- Ответить на вопрос задачи
- Проверить, соответствует ли полученный ответ условию и смыслу задачи
Как перевести условие задачи на математический язык, оформить ее в формулы и записать уравнение?
Задача 1
За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали 4/9 того, что продали в первый, а в третий - столько, сколько за первые два дня вместе. Сколько кг апельсинов продали в первый день?
Решение
|
1 день |
х |
Всего 130 кг |
|
2 день |
4/9 того, что в 1 день |
|
|
3 день |
Сколько за первые два дня вместе |
|
Условие задачи |
Математический язык |
|
Сколько кг апельсинов продали в 1 день |
х |
|
Во второй – 4/9 того, что продали в 1 день |
|
|
В третий - сколько за первые два дня вместе |
|
|
Всего 130 кг |
|
Полученное уравнение соответствует условию задачи
х = 45 (кг) – продали в 1 день
Проверка
(кг)
Ответ: 45 кг
Задача 2
Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней планировал готовиться к экзамену?
Решение
За х возьмем количество дней, за которые ученик планировал готовиться к экзамену. Это вопрос задачи.
|
|
В день |
К-во дней |
Итог |
|
план |
12 |
х |
|
|
факт |
12+4 = 16 |
Раньше на 3 дня |
Осталось 8 задач |
|
Условие задачи |
Математический язык |
|
Сколько дней ученик планировал готовиться к экзамену |
х |
|
За 3 дня до экзамена |
(х – 3) |
|
Планировал ежедневно решать 12 задач |
12х |
|
Решал ежедневно на 4 задачи больше |
12+4=16 |
|
За 3 дня до экзамена осталось решить 8 задач |
16(х – 3) + 8 |
При составлении уравнения надо понимать, что количество задач, которые надо было решить в обоих рассматриваемых случаях одинаково, но если ученик будет решать больше задач в день, то быстрее закончит подготовку
16х – 48 + 8 = 12х
4х = 40
х = 10 – дней ученик планировал готовиться к экзамену
Проверка
12 * 10 = 120 (д)
16 * (10 – 3) = 16*7 + 8 = 112 (д)
120 – 112 = 8 (д) – соответствует условию
Ответ: 10 дней
Задача 3
Мастер планировал ежедневно изготавливать по 24 детали, чтобы выполнить заказ вовремя. Но поскольку он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше, то уже за шесть дней до окончания срока работы он изготовил 21 деталь сверх заказа. Сколько дней мастер должен был работать над заказом?
Решение
|
|
В день |
К-во дней |
Итог |
|
план |
24 |
х |
|
|
факт |
24+15=39 |
За 6 дней до окончания срока |
На 21 деталь сверх заказа |
За х возьмем количество дней, которые мастер должен был работать над заказом. Это вопрос задачи.
|
Условие задачи |
Математический язык |
|
Сколько дней мастер должен был работать над заказом |
х |
|
За 6 дней до окончания срока |
(х – 6) |
|
Планировал ежедневно изготавливать по 24 детали |
24х |
|
Изготавливал ежедневно на 15 деталей больше |
24 + 15 = 39 |
|
Изготовил на 21 деталь сверх заказа |
39 (х – 6) – 24х = 21 |
Полученное уравнение соответствует условию задачи
39 (х – 6) – 24х = 21
39х – 234 – 24х = 21
15х = 21+234
15х = 255
х = 255:15
х = 17 – количество дней, которые мастер должен был работать над заказом
Проверка
24*17=408 (д)
408 + 21 = 429 (д)
39*(17 – 6) = 39*11 = 429 (д)
Ответ: 17 дней
Задача 4
Из одного города выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, а через 2 ч после этого из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 75 км/ч. Найдите время, которое потратил на дорогу каждый автомобиль до момента встречи, если расстояние между городами равно 690 км.
S = Vt
Встречное движение V1t1 + V2t2 = S
Решение
|
|
Скорость V (км/ч) |
Время t (ч) |
Расстояние S (км) |
|
1 авт. |
65 |
х |
690 |
|
2 авт. |
75 |
Через 2 часа |
|
Условие задачи |
Математический язык |
|
Потратил на дорогу первый автомобиль до момента встречи |
х |
|
Через 2 часа навстречу ему выехал второй автомобиль |
(х – 2) |
|
Проехал первый автомобиль до момента встречи |
65х |
|
Проехал второй автомобиль до момента встречи |
75(х – 2) |
|
Расстояние между городами равно 690 км |
65х + 75(х – 2) = 690 |
Полученное уравнение соответствует условию задачи
65х + 75(х – 2) = 690
65х + 75х – 150 = 690
140х = 840
х = 840:140
х = 6 (ч) – время, встречи 1 автомобиля
(х – 2) = 6 – 2 = 4 (ч) – время, встречи 2 автомобиля
Проверка
65*6 = 390 (км)
75*4 = 300 (км)
390 + 300 = 690 (км)
Ответ: 6 ч., 4 ч.
Задача 5
Лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 1,7 ч против течения. Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 28 км/ч.
Решение
|
|
Скорость V (км/ч) |
Время t (ч) |
Расстояние S (км) |
|
По течению |
(28 + V теч) |
1,4 |
Меньше на 2,2 км, чем против течения |
|
Против течения |
(28 – V теч) |
1,7 |
|
Условие задачи |
Математический язык |
|
Скорость течения реки |
х |
|
Лодка плыла по течению реки 1,4 ч |
1,4 *(28+х) |
|
и 1,7 ч против течения |
1,7*(28 – х) |
|
Путь лодки по течению оказался на 2,2 км меньше пути, против течения |
1,7*(28 – х) – 1,4 *(28+х) = 2,2 |
Полученное уравнение соответствует условию задачи
1,7*(28 – х) – 1,4 *(28+х) = 2,2
47,6 – 1,7х – 39,2 – 1,4х = 2,2
8,4 – 3,1х = 2,2
– 3,1х = – 6,2
х = 2 (км/ч) – скорость течения реки
Проверка
1,4 * (28+2) = 1,4*30 = 42 (км)
42 + 2,2 = 44,2 (км)
1,7*(28 – 2) = 1,7*26 = 44,2 (км)
Ответ: 2 км/ч
Вы можете проверить себя, пройдя тест по ссылке без регистрации и абсолютно бесплатно