Урок 4. Метод интервалов


УРОК 4

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств – метод интервалов

Решить неравенство

х2 + 2х – 3 ≤ 0

  1. Найти корни уравнения х2 + 2х – 3 = 0, х1 = - 3 и х2 = 1
  2. на числовой оси отметить корни уравнения

 

Эти точки разбили числовую ось на три промежутка:

 

  1. определить знак выражения на промежутках:

при х = 0, выражение х2 + 2х – 3 = - 3 < 0, при переходе к следующему промежутку знак меняется (чередование знака)

выделить штриховкой промежуток, где неравенство

х2 + 2х – 3 ≤ 0 выполняется

  1. записать ответ

 

Решить неравенство

Выражение уже разложено на множители, найдем корни выражения

 

отметим на числовой прямой  и определим знак выражения на каждом промежутке

 

Решением неравенства

 

являются промежутки        

Решить неравенство

При решении неравенства методом интервалов важно знать четность степени многочленов, входящих в неравенство.

В разложение многочлена на множители входит сомножитель (х – х0)k

х0 – корень многочлена кратности k, если

k – четное, то при переходе через х0 интервал справа и слева имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется)

k – нечетное, то при переходе через х0 интервал справа и слева имеет противоположный знак (т.е. знак многочлена меняется)

Разберем на примере нашего неравенства

 

(х + 5)8 , где х0 = - 5, кратность степени k=8 – четная

(х + 2)3  , где х0 = - 2, кратность степени k=3 – нечетная

х , где  х0 = 0, кратность степени k=1 – нечетная

(х – 1)2  , где х0 = 1, кратность степени k=2 – четная

(х – 3)7 , где х0 = 3, кратность  степени k=7 – нечетная

Нанесем корни на числовую ось и отметим буквами четность кратности этих корней: Ч – четная, Н – нечетная

Используя четность кратности корней, отметим знаки в промежутках

Находим при каких х многочлен неотрицательный, решение неравенства

Если неравенство не имеет вида, как в данных примерах, то неравенство надо привести к данному виду, используя те или иные приемы, соблюдая правила равносильности неравенств

 

Решить неравенство

Перенесем все в левую часть и разложим многочлен в левой части на множители

Представим в виде: - 7х = - 6х – х  и сгруппируем члены многочлена

Находим корни и разложим на множители

х = - 3 и х = 2, тогда х2 + х – 6 = (х + 3)(х – 2), окончательно получаем

Все корни многочлена первой кратности, при переходе через корни знак промежутка меняется

Ответ



Функции и графики. Область определения, область значения, промежутки знакопостоянства



Чтение графика функции.



 



Функции и графики. Построение и преобразование.



Построение и преобразование графиков функций.




Как построить график тригонометрической функции



Функции и графики. Справочный материал.



Графики и свойства некоторых функций.



Использованная литература:



Что обозначают числовые коэффициенты


Установите соответствие между знаками коэффициентов и графиками функций (задание ОГЭ)

Рассмотрим квадратичную функцию aх2 + bx + c

Каждый коэффициент несет свою смысловую нагрузку:

 

– Знак коэффициента а показывает как направлены ветви параболы:

a > 0 – ветви параболы направлены вверх

 

 

a < 0 – ветви параболы направлены вниз

 

– Знак коэффициента b показывает, как расположена вершина параболы относительно оси OY (в правой полуплоскости или левой полуплоскости):

  - вершина параболы находится в правой полуплоскости

         

  - вершина параболы находится в левой полуплоскости

      

– Знак коэффициента с показывает, где находится точка пересечения с осью OY (ось ординат)

с > 0 – точка пересечения параболы с осью ординат находится в верхней полуплоскости

   

с < 0 – точка пересечения параболы с осью ординат находится в нижней полуплоскости

       

 

Установите соответствие и впишите ответ

На рисунках изображены графики функций вида y=ax2+bx+c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

 

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) 

a>0c>0 

  Б) 

a<0c>0 

  В) 

a>0c<0 

 

ГРАФИКИ

1) 

undefined

  2) 

undefined

  3) 

undefined

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

Решение:

А) 

a>0c>0  ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает

ось OY выше 0 график 3)

Б) 

a<0c>0   ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает

ось OY выше 0 график 2)

 В) 

a>0c<0    ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает

ось OY ниже 0 график 1)

А

Б

В

3

2

1

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

a>0c>0 

  2) 

a>0c<0 

  3) 

a<0c>0

Решение:

А) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют коэффициенты  a>0c>0 пункт 1)

Б) ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют a<0c>0 пункт 3)

В) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY ниже 0, соответствуют коэффициенты  a>0c<0 пункт 2)

А

Б

В

1

3

2

 

 

 

 

 

 

 

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

a<0c>0 

  2) 

a>0c<0 

  3) 

a>0c>0 

Решение:

А) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют коэффициенты  a>0c>0 пункт 3)

Б) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY ниже 0, соответствуют a>0c<0  пункт 2)

В) ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют коэффициенты  a<0c>0 пункт 1)

 А

Б

В

3

2

1