Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Решение задач с помощью уравнения (уровень Б)

Многие задачи можно решить с помощью уравнений, следуя простому алгоритму (порядок действий):

1. Обозначить за х искомое неизвестное (или выбрать из условия величину, которую можно принять за х)
2. Перевести на математический язык условие задачи и составить уравнение
3. Решить полученное уравнение
4. Ответить на вопрос задачи
5. Проверить, соответствует ли полученный ответ условию и смыслу задачи

Как перевести условие задачи на математический язык, оформить ее в формулы и записать уравнение?

Задача 1

За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали 4/9 того, что продали в первый, а в третий - столько, сколько за первые два дня вместе. Сколько кг апельсинов продали в первый день?

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х = 45 (кг) – продали в 1 день

Проверка

 (кг)

Ответ: 45 кг

Задача 2

Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней планировал готовиться к экзамену?

Решение

За х возьмем количество дней, за которые ученик планировал готовиться к экзамену. Это вопрос задачи.

При составлении уравнения надо понимать, что количество задач, которые надо было решить в обоих рассматриваемых случаях одинаково, но если ученик будет решать больше задач в день, то быстрее закончит подготовку

16х – 48 + 8 = 12х

4х = 40

х = 10 – дней ученик планировал готовиться к экзамену

Проверка

12 * 10 = 120 (д)

16 * (10 – 3) = 16*7 + 8 = 112 (д)

120 – 112 = 8 (д) – соответствует условию

Ответ: 10 дней

Задача 3

Мастер планировал ежедневно изготавливать по 24 детали, чтобы выполнить заказ вовремя. Но поскольку он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше, то уже за шесть дней до окончания срока работы он изготовил 21 деталь сверх заказа. Сколько дней мастер должен был работать над заказом?

Решение

За х возьмем количество дней, которые мастер должен был работать над заказом. Это вопрос задачи.

Полученное уравнение соответствует условию задачи

39 (х – 6) – 24х = 21

39х – 234 – 24х = 21

15х = 21+234

15х = 255

х = 255:15

х = 17 – количество дней, которые мастер должен был работать над заказом

Проверка

24*17=408 (д)

408 + 21 = 429 (д)

39*(17 – 6) = 39*11 = 429 (д)

Ответ: 17 дней

Задача 4

Из одного города выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, а через 2 ч после этого из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 75 км/ч. Найдите время, которое потратил на дорогу каждый автомобиль до момента встречи, если расстояние между городами равно 690 км.

S = Vt

Встречное движение V₁t₁ + V₂t₂ = S

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

65х + 75(х – 2) = 690

65х + 75х – 150 = 690

140х = 840

х = 840:140

х = 6 (ч) – время, встречи 1 автомобиля

(х – 2) = 6 – 2 = 4 (ч) – время, встречи 2 автомобиля

Проверка

65*6 = 390 (км)

75*4 = 300 (км)

390 + 300 = 690 (км)

Ответ: 6 ч., 4 ч.

Задача 5

Лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 1,7 ч против течения. Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 28 км/ч.

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

1,7*(28 – х) – 1,4 *(28+х) = 2,2

47,6 – 1,7х – 39,2 – 1,4х = 2,2

8,4 – 3,1х = 2,2

 – 3,1х = – 6,2

х = 2 (км/ч) – скорость течения реки

Проверка

1,4 * (28+2) = 1,4*30 = 42 (км)

42 + 2,2 = 44,2 (км)

1,7*(28 – 2) = 1,7*26 = 44,2 (км)

Ответ: 2 км/ч

Вы можете проверить себя, пройдя тест по ссылке без регистрации и абсолютно бесплатно

https://onlinetestpad.com/jmxbl4vo24qju

Решение задач с помощью уравнения (уровень А)

Многие задачи можно решить с помощью уравнений, следуя простому алгоритму (порядок действий):

1. Обозначить за х искомое неизвестное (или выбрать из условия величину, которую можно принять за х)
2. Перевести на математический язык условие задачи и составить уравнение
3. Решить полученное уравнение
4. Ответить на вопрос задачи
5. Проверить, соответствует ли полученный ответ условию и смыслу задачи

Как перевести условие задачи на математический язык, оформить ее в формулы и записать уравнение?

Задача 1

Периметр прямоугольника равен 58 см. Длина на 5 см больше ширины. Найдите длины его сторон

Решение

Длина (a) > ширины (b) на 5 см, периметр P=2(a+b) =58 см, тогда полупериметр равен a+b = 58:2 = 29 см

Пусть х – ширина прямоугольника (меньшая из длин сторон)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

2х + 5 = 29

2х = 29 – 5

2х = 24

х = 12 (см), тогда

х+5 = 12+5=17 (см)

Ответ: 12 см, 17 см

Задача 2

В двух бидонах 36 литров молока, причем в первом бидоне в 1,4 раза больше, чем во втором. Сколько молока в каждом бидоне?

Решение

Пусть х л – меньшая из искомых величин – количество молока во втором бидоне (согласитесь, умножать на 1,4 проще, чем делить при составлении уравнения)

Составим уравнение

х+1,4х=36

2,4х=36

х=36:2,4

х= 15 (л) – во втором бидоне, тогда

1,4х = 1,4*15 = 21 (л) – в первом бидоне

Проверка: по условию, всего молока 36 л, 15+21=36 (л)

Ответ: 21л; 15л

Задача 3

В течении года в Солнечном городе облачных дней было на 23 дня больше, чем дней с дождём или снегом, и на 262 меньше, чем солнечных дней. Сколько было солнечных дней на протяжении года, если известно, что он не был високосным?

Решение

Пусть х дней – количество солнечных дней (то, что нужно найти)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х + (х – 262) + (х – 285) = 365

3х – 547 = 365

3х = 365+547

3х = 912

х= 912:3

х= 304 (д)

Проверка:

солнечных дней – 304

облачных дней 304 – 262 = 42

дней с дождем и снегом 304 – 285 = 19

304+42+19 = 365 (д)

Ответ: 304 дня

Задача 4

В первом баке было 55 л масла, а во втором 45 л. После того как из первого бака наполнили 8 бутылей, а из второго 6 таких бутылей, масла в баках стало поровну. Сколько масла входит в одну бутыль?

Решение

Пусть х л – масла входит в 1 бутылку (то, что нужно найти)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

55 – 8х = 45 – 6х

-8х + 6х = 45 – 55

- 2х = -10

х = 5 (л) – масла входит в одну бутыль

Проверка:

55 – 8*5 =55 – 40 = 15 (л) – стало в первом баке

45 – 6*5 = 45 – 30 = 15(л) – стало во втором баке

15 = 15 – соответствует условию (стало поровну)

Ответ: 5л

Задача 5 (*)

Сумма двух натуральных чисел 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Решение

Так как сумма двух натуральных чисел 474, то числа или трехзначные, или одно число двухзначное, а другое трехзначное

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х + (10 х + 1) = 474

х + 10 х + 1 = 474

11х = 473

х = 473:11

х=43

тогда второе число 10*43 + 1=431

Проверка:

Второе число 431 – по условию, если последнюю цифру зачеркнуть, то получится второе число 431      = 43, сумма 431+43=474

Ответ: 43 и 431

Эту задачу можно решить иначе, не составляя уравнение

Пройти тест "Решение задач с помощью уравнений" можно по ссылке

https://onlinetestpad.com/ajtohpkqjp6he

Выполни  упражнение. Оно состоит из нескольких заданий. Каждое задание будет открываться последовательно.

Задание 1 "Найти пару". Примеры и ответы даны отдельно. Необходимо найти верное решение для каждого примера. Если решил правильно - пара исчезнет, если неверно - останется. При неправильном решении щелкни кнопкой мыши и разбей пару.

Задание 2. Реши пример и запиши ответ в пустое поле под примером. По окончании нажми на кнопку в правом нижнем углу. Если всё верно, перейдешь к следующему заданию. Если есть отметки красным - реши заново.

Задание 3. Реши примеры и расставь карточки с примерами на правильное место = ответ. На прямой уже есть отметки, начни с самых крайних. Карточки с примерами можно двигать ниже оси с ответами, пунктирная линия покаже, где находится флажок.

Задание 4. "Угадай пазл". Смысл упражнения в следующем: картинка закрывается пазлами, каждый из которых содержит пример. Ответ приведен вверху игрового поля; при прохождении упражнения сначала нужно выбрать ответ, а затем отметить соответствующие ему пазлы.

Если отмеченный пазл соответствует ответу, открывается часть картинки; в противном случае на экране появляется сообщение об ошибке.

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Какое из следующих утверждений верно?

1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов.
3. Диагонали ромба равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение:

 Записываем номер – 2

В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, АС=16, АВ=40. Найдите Sin B.

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59⁰. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ записывается без пробелов, запятых, точек – 13

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ  

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Один из углов прямоугольной трапеции равен 64^о. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке пересечения О, АС = 22, BD = 24, АВ = 3. Найдите DO.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 92^о, угол CAD равен 60⁰. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

   В справочном материале есть раздел о средней линии треугольника и трапеции

Искомый отрезок равен половине основания, значит ответ 19:2 = 9,5

УРОК 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим неравенство f(x) v 0

f(x) – функция, зависящая от переменной х

v – знак сравнения (>, <, ≥, ≤)

Решением этого неравенства (или частным решением) называют такое значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) v 0 в верное числовое неравенство.

Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или решением) неравенства.

Например,

2х – 3 ≥ 0

Являются ли числа 3; 1,6    – частным   решением данного неравенства?

Для ответа на этот вопрос необходимо подставить эти решения в данное неравенство

х = 3 => 2*3 – 3 ≥ 0 => 6 – 3 ≥ 0 => 3 ≥ 0

х =1,6 => 2*1,6 – 3 ≥ 0 => 3,2 – 3 ≥ 0 => 0,2 ≥ 0

Решив неравенство 2х – 3 ≥ 0, найдем общее решение.

Числа х, удовлетворяющие условию х ≥ 1,5 являются общим решением данного неравенства (куда смотрит уголок знака, та часть числовой прямой  и заштриховывается)

РАВНОСИЛЬНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ

Два неравенства f(x) v g(x)  и  r(x) v s(x)  называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют

(любое частное решение первого неравенства является частным решением второго и наоборот).

При решении сложное неравенство заменяют на равносильное ему более простое. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Для этих преобразований используют три правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства, например:

3х + 4 < х²    равносильно неравенству: - х² + 3х + 4 < 0 (перенесли х² в левую часть с противоположным знаком и знак неравенства сохранили)

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства,

например:

16х + 8 < 20х²   равносильно неравенству 4х + 2 < 5х² (обе части неравенства разделили на 4, знак неравенства сохранили).

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак неравенства,

то получим неравенство, равносильное данному, например:

 , умножим левую и правую часть неравенства на выражение

   - положительное при любых значениях х, получим равносильное неравенство

2х – 3 ≥ 0 (знак неравенства сохраняется)

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, например:

- 3х² - 5х + 1 ≥ 0, равносильно неравенству

  3х² + 5х - 1 ≤ 0, т.к. обе части первого неравенства умножили на отрицательное число (-1) и изменили знак неравенства на противоположный.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х,

и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному,

например (– х⁴ – 1 )(2х – 3) ≥ 0

Разделим обе части неравенства на  выражение

р(х) = (– х⁴ – 1) = –  ( х⁴ + 1), отрицательное при всех значениях х,

тогда неравенству (– х⁴ – 1)(2х – 3) ≥ 0

равносильно неравенство  2х – 3 ≤ 0, т.к. разделили на отрицательное число и знак неравенства поменяли.

Только при соблюдении этих условий получаются равносильные неравенства, например:

Неравенство

  , неравносильно неравенству 2х – 3 ≥ 0 , т.к. выражение

р(х) = (х²–1) в зависимости от переменной х может иметь и положительный и отрицательный знак, поэтому просто умножить обе части неравенства на выражение

р(х) = (х² – 1) нельзя.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств

УРОК 2

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенство f(x) v 0 называют по типу функции  f(x). Линейным неравенством называют неравенство вида ax + b v 0, т.к. функция f(x) = ax + b – линейная.

Рассмотрим несколько примеров

1. Открытый банк данных заданий ОГЭ/ Математика

Перенесем в левую часть неравенства члены, содержащие х, а числа соберём в правой части:

– х – х ≥ – 6 + 3 (при этом изменив знаки таких членов и чисел на противоположные, а знак неравенства сохраняем)

В каждой части неравенства приведем подобные члены:

– 2х ≥ – 3

Чтобы найти решение, разделим обе части неравенства на  отрицательное число (– 2), при этом поменяем знак неравенства:

х ≤ 1,5

           (куда указывает носик знака – это и есть решение)

Ответ: 1)

2. Неравенство

Избавимся от знаменателей дробей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей дробей

НОК (6, 3, 2) = 6, число положительное, значит знак неравенства сохраняется

получим равносильное неравенство

2х – 7 + 2(7х – 2) ≤ 18 – 3(1 – х)    раскрываем скобки

2х – 7 + 14х – 4 ≤ 18 – 3 + 3х  приводим подобные слагаемые

16х – 11 ≤ 15 + 3х     переносим, члены, содержащие х в левую часть неравенства, числа – в правую часть, при этом поменяв их знаки на противоположные, и сохраним знак неравенства

16х – 3х ≤ 15 + 11 приводим подобные слагаемые

13х ≤ 26     разделим обе части неравенства на положительное число 13  и получим

х ≤ 2 

3. Двойное линейное неравенство

Из всех частей неравенства вычтем число 3 и сохраним знаки неравенства

Умножим все части неравенства на отрицательное число    и изменим знаки неравенства на противоположные:

  получим равносильное неравенство

  или