Множество, подмножество, примеры множеств.

В математике некоторые понятия являются неопределяемыми (первичными). К ним относится понятие множества (например, в «Алисе в Стране чудес»: «Множество чего? – А ничего, просто множество»).

Множество – группа или набор объектов (предметов), обладающих каким-либо общим для всех них свойством или признаком.

Это утверждение не является определением, а лишь разъяснением. Множество – начальное понятие (как, например, точка, число), на основании которого строятся остальные понятия математики.

Множества можно составлять из различных объектов, как материальных, так и абстрактных, объединенных на основе самых различных признаков, содержащих различное количество элементов.

Под элементами множества в математике понимают объекты, составляющие множество.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы списком, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.

Описать множество можно словами, например,

B – множество планет солнечной системы.

Тогда

B = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер Сатурн, Уран, Нептун, Плутон(*)}.

(*) Плутон считался девятой планетой нашей звездной системы с момента открытия 1930 г. и до 2006 года.

Порядком множества называется число его элементов. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его порядком называется количество элементов. Если множество содержит бесконечное число элементов, оно называется бесконечным. Из бесконечных множеств можно выделить множества, элементы которых можно пронумеровать (множество натуральных чисел, множество, состоящее из членов арифметической или геометрической прогрессии, и т.д.) – счетные множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, а их элементы – строчными a, b, c, ….

Принадлежность элемента множеству записывают a ∈ A.

Пустое множество – множество, не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается .

Рассмотрим некоторые примеры множеств.

1. Множество натуральных чисел: {1, 2, 3....}. Множество содержит бесконечное число элементов.
2. Множество всех делителей числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Конечное множество, содержащее 6 элементов.
3. Множество всех выпуклых четырёхугольников. Множество содержит бесконечное число элементов. Несчётное множество.
4. Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения х² = -1. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество его решений – пустое.

Числовые множества.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Применяются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел. Множество N содержит числа, используемые для счета (целые положительные числа);

Z – множество целых чисел. Множество Z содержит целые отрицательные числа, 0, целые положительные числа;

Q – множество рациональных чисел {m/n | m ∈ Z;  n ∈ N}, состоящее из дробей, в числителе которых стоит целое число, а в знаменателе – натуральное.

R – множество действительных чисел. Множество действительных чисел R называется числовой прямой и обозначается (–∞; +∞).

Наглядную иллюстрацию множеств дают диаграммы   Эйлера- Венна, в которых элементы множеств изображаются точками некоторых кругов.

Множество А называется подмножеством множества B (A ⊂ B), если любой элемент множества  А принадлежит множеству В.

• любое множество, есть подмножество самого себя,
• пустое множество является подмножеством любого множества

• если A ⊂ B и В ⊂  А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А = В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

• если A ⊂  B и В ⊂   А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А =В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

Действия с множествами

Пусть даны множества А и В.

Объединением множеств А и В называется множество С (А U В = С), элементы которого являются элементами   А или элементами В.

Пересечением множеств А и В называется множество С (А∩ В = С), элементы которого являются элементами  А и элементами В одновременно.

Разностью множеств  А и В называется множество С (А\В = С), элементы которого являются элементами  А и не принадлежат В.

Примеры:

Практическая работа

Дано:

A={1; 2; 3; 5; 7; 10}

B={3; 4; 6; 9; 10}

C={2; 5; 7; 9; 11}

Найти:

Пройдите тест

ссылка на тест

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={x | x принадлежит A и x не принадлежит B}.

Пример:

A= {1; 3; 4; 6; 8}  

B= {4; 5; 6; 7; 9}

A\B ={1; 3; 8}                B\A = {5; 7; 9}.

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={х| x принадлежит А и х не принадлежит В}.

Графические изображения разности множеств.

A\ В  в  различных случаях

1. А ∩ В ≠  ∅

2. В ⸦ А

Тогда (A\B) ∪ В = А

А ∩ В = В

А ∪ В =A

3. Если А ∩ В =  

то А \ В = А

Примечание.

Если А ⸦ В, то   

Решение задач

Дано:       А = {3; 6; 7; 8; 9; 10};

В = {1; 4; 6; 8; 9; 11};

С = {2; 3; 7; 10; 12}

Найдите:

1. (A\B) ∩ C  = {3; 7; 10} ∩ {2; 3; 7; 10; 12} = {3; 7; 10}.

2. A\ (B∩C)  ={3; 6; 7; 8; 9; 10} \ ∅ = {3; 6; 7; 8; 9; 10}.

3. (А \ С)∩B ={6; 8; 9} ∩ {1; 4; 6; 8; 9; 11} = {6; 8; 9}.

4. C\ (А \ В) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {3; 7; 10} = {2; 12}.

5. С \ (A∩B) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {6; 8; 9} ={2; 3; 7; 10; 12}.

6. (В ∪ С) \ А ={1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} \ {3; 6; 7; 8; 9; 10} = {1; 2;  4; 11; 12}.

7. (А ∪ В) \ С ={1; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11} \ {2; 3; 7; 10; 12} =  {1; 4; 6; 8; 9; 11}.

8. (А ∪ С) \ В = {2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 12} \ {1; 4; 6; 7; 8; 9; 11} = {2; 3; 7; 10; 12}

Выполни  упражнение. Оно состоит из нескольких заданий. Каждое задание будет открываться последовательно.

Задание 1 "Найти пару". Примеры и ответы даны отдельно. Необходимо найти верное решение для каждого примера. Если решил правильно - пара исчезнет, если неверно - останется. При неправильном решении щелкни кнопкой мыши и разбей пару.

Задание 2. Реши пример и запиши ответ в пустое поле под примером. По окончании нажми на кнопку в правом нижнем углу. Если всё верно, перейдешь к следующему заданию. Если есть отметки красным - реши заново.

Задание 3. Реши примеры и расставь карточки с примерами на правильное место = ответ. На прямой уже есть отметки, начни с самых крайних. Карточки с примерами можно двигать ниже оси с ответами, пунктирная линия покаже, где находится флажок.

Задание 4. "Угадай пазл". Смысл упражнения в следующем: картинка закрывается пазлами, каждый из которых содержит пример. Ответ приведен вверху игрового поля; при прохождении упражнения сначала нужно выбрать ответ, а затем отметить соответствующие ему пазлы.

Если отмеченный пазл соответствует ответу, открывается часть картинки; в противном случае на экране появляется сообщение об ошибке.

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Какое из следующих утверждений верно?

1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов.
3. Диагонали ромба равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение:

 Записываем номер – 2

В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, АС=16, АВ=40. Найдите Sin B.

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59⁰. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ записывается без пробелов, запятых, точек – 13

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Ответ  

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Один из углов прямоугольной трапеции равен 64^о. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке пересечения О, АС = 22, BD = 24, АВ = 3. Найдите DO.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 92^о, угол CAD равен 60⁰. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

   В справочном материале есть раздел о средней линии треугольника и трапеции

Искомый отрезок равен половине основания, значит ответ 19:2 = 9,5

УРОК 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим неравенство f(x) v 0

f(x) – функция, зависящая от переменной х

v – знак сравнения (>, <, ≥, ≤)

Решением этого неравенства (или частным решением) называют такое значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) v 0 в верное числовое неравенство.

Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или решением) неравенства.

Например,

2х – 3 ≥ 0

Являются ли числа 3; 1,6    – частным   решением данного неравенства?

Для ответа на этот вопрос необходимо подставить эти решения в данное неравенство

х = 3 => 2*3 – 3 ≥ 0 => 6 – 3 ≥ 0 => 3 ≥ 0

х =1,6 => 2*1,6 – 3 ≥ 0 => 3,2 – 3 ≥ 0 => 0,2 ≥ 0

Решив неравенство 2х – 3 ≥ 0, найдем общее решение.

Числа х, удовлетворяющие условию х ≥ 1,5 являются общим решением данного неравенства (куда смотрит уголок знака, та часть числовой прямой  и заштриховывается)

РАВНОСИЛЬНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ

Два неравенства f(x) v g(x)  и  r(x) v s(x)  называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют

(любое частное решение первого неравенства является частным решением второго и наоборот).

При решении сложное неравенство заменяют на равносильное ему более простое. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Для этих преобразований используют три правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства, например:

3х + 4 < х²    равносильно неравенству: - х² + 3х + 4 < 0 (перенесли х² в левую часть с противоположным знаком и знак неравенства сохранили)

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства,

например:

16х + 8 < 20х²   равносильно неравенству 4х + 2 < 5х² (обе части неравенства разделили на 4, знак неравенства сохранили).

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак неравенства,

то получим неравенство, равносильное данному, например:

 , умножим левую и правую часть неравенства на выражение

   - положительное при любых значениях х, получим равносильное неравенство

2х – 3 ≥ 0 (знак неравенства сохраняется)

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, например:

- 3х² - 5х + 1 ≥ 0, равносильно неравенству

  3х² + 5х - 1 ≤ 0, т.к. обе части первого неравенства умножили на отрицательное число (-1) и изменили знак неравенства на противоположный.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х,

и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному,

например (– х⁴ – 1 )(2х – 3) ≥ 0

Разделим обе части неравенства на  выражение

р(х) = (– х⁴ – 1) = –  ( х⁴ + 1), отрицательное при всех значениях х,

тогда неравенству (– х⁴ – 1)(2х – 3) ≥ 0

равносильно неравенство  2х – 3 ≤ 0, т.к. разделили на отрицательное число и знак неравенства поменяли.

Только при соблюдении этих условий получаются равносильные неравенства, например:

Неравенство

  , неравносильно неравенству 2х – 3 ≥ 0 , т.к. выражение

р(х) = (х²–1) в зависимости от переменной х может иметь и положительный и отрицательный знак, поэтому просто умножить обе части неравенства на выражение

р(х) = (х² – 1) нельзя.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств

УРОК 2

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенство f(x) v 0 называют по типу функции  f(x). Линейным неравенством называют неравенство вида ax + b v 0, т.к. функция f(x) = ax + b – линейная.

Рассмотрим несколько примеров

1. Открытый банк данных заданий ОГЭ/ Математика

Перенесем в левую часть неравенства члены, содержащие х, а числа соберём в правой части:

– х – х ≥ – 6 + 3 (при этом изменив знаки таких членов и чисел на противоположные, а знак неравенства сохраняем)

В каждой части неравенства приведем подобные члены:

– 2х ≥ – 3

Чтобы найти решение, разделим обе части неравенства на  отрицательное число (– 2), при этом поменяем знак неравенства:

х ≤ 1,5

           (куда указывает носик знака – это и есть решение)

Ответ: 1)

2. Неравенство

Избавимся от знаменателей дробей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей дробей

НОК (6, 3, 2) = 6, число положительное, значит знак неравенства сохраняется

получим равносильное неравенство

2х – 7 + 2(7х – 2) ≤ 18 – 3(1 – х)    раскрываем скобки

2х – 7 + 14х – 4 ≤ 18 – 3 + 3х  приводим подобные слагаемые

16х – 11 ≤ 15 + 3х     переносим, члены, содержащие х в левую часть неравенства, числа – в правую часть, при этом поменяв их знаки на противоположные, и сохраним знак неравенства

16х – 3х ≤ 15 + 11 приводим подобные слагаемые

13х ≤ 26     разделим обе части неравенства на положительное число 13  и получим

х ≤ 2 

3. Двойное линейное неравенство

Из всех частей неравенства вычтем число 3 и сохраним знаки неравенства

Умножим все части неравенства на отрицательное число    и изменим знаки неравенства на противоположные:

  получим равносильное неравенство

  или

УРОК 3

КВАДРАТНЫЕ (КВАДРАТИЧНЫЕ) НЕРАВЕНСТВА

Квадратным (квадратичным) неравенством называют неравенство вида

ax² + bx + c  v  0, так как функция f(x) = ax² + bx + c  квадратная или квадратичная.

Один из способов решения квадратных неравенств с помощью графика

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1. Определяют направление ветвей параболы: при a>0 – вверх, при a<0 – вниз;
2. Находят дискриминант D = b² – 4ac квадратного трехчлена

ax² + bx + c и определяют, имеет ли трехчлен корни (D≥0 – имеет корни, D<0 – не имеет корней);

3. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси абсцисс. Построить эскиз параболы с учетом направления ветвей.

Если трехчлен не имеет корней, построить эскиз параболы, расположенной в верхней полуплоскости при a>0 и в нижней полуплоскости при a<0, 

с учетом направления ветвей;

4. Находят на оси х промежутки, для которых выполнено данное неравенство.

Решить неравенство:

Рассмотрим функцию 

1. а = 6 > 0 – ветви параболы направлены вверх
2. D = b² – 4ac = (-1)² – 4*6*(-1) = 25 > 0 – имеет 2 корня

3. Эскиз параболы  

4. Функция      принимает неположительные значения на промежутке     (часть графика расположена под осью ОХ), промежуток   является решением данного неравенства.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию    

1.      – ветви параболы направлены вниз
2. Найдем корни уравнения   умножим обе части уравнения на 3, получим    , отсюда

х = 3 – единственный корень. Парабола касается оси абсцисс в точке х = 3

3. Эскиз параболы

4. Функция     принимает неотрицательное значение только в одной точке х = 3, поэтому данное неравенство имеет единственное решение х = 3.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию  

Раскроем знак модуля:

При  , ветви параболы направлены вверх, х₁ = -1, х₂ = 3

При  , участок параболы АВ отображаем зеркально вниз и получаем график функции

Неравенство   выполняется для отдельной точки х = -1 и в промежутке  

Решение неравенства   

Обратите внимание на форму записи ответа. Ответ принято записывать в виде числовых промежутков в порядке возрастания.

УРОК 4

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств – метод интервалов

Решить неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0

1. Найти корни уравнения х² + 2х – 3 = 0, х₁ = - 3 и х₂ = 1
2. на числовой оси отметить корни уравнения

Эти точки разбили числовую ось на три промежутка:

3. определить знак выражения на промежутках:

при х = 0, выражение х² + 2х – 3 = - 3 < 0, при переходе к следующему промежутку знак меняется (чередование знака)

выделить штриховкой промежуток, где неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0 выполняется

4. записать ответ

Решить неравенство

Выражение уже разложено на множители, найдем корни выражения

отметим на числовой прямой  и определим знак выражения на каждом промежутке

Решением неравенства

являются промежутки        

Решить неравенство

При решении неравенства методом интервалов важно знать четность степени многочленов, входящих в неравенство.

В разложение многочлена на множители входит сомножитель (х – х₀)^k

х₀ – корень многочлена кратности k, если

k – четное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется)

k – нечетное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет противоположный знак (т.е. знак многочлена меняется)

Разберем на примере нашего неравенства

(х + 5)⁸ , где х₀ = - 5, кратность степени k=8 – четная

(х + 2)³  , где х₀ = - 2, кратность степени k=3 – нечетная

х , где  х₀ = 0, кратность степени k=1 – нечетная

(х – 1)²  , где х₀ = 1, кратность степени k=2 – четная

(х – 3)⁷ , где х₀ = 3, кратность  степени k=7 – нечетная

Нанесем корни на числовую ось и отметим буквами четность кратности этих корней: Ч – четная, Н – нечетная

Используя четность кратности корней, отметим знаки в промежутках

Находим при каких х многочлен неотрицательный, решение неравенства

Если неравенство не имеет вида, как в данных примерах, то неравенство надо привести к данному виду, используя те или иные приемы, соблюдая правила равносильности неравенств

Решить неравенство

Перенесем все в левую часть и разложим многочлен в левой части на множители

Представим в виде: - 7х = - 6х – х  и сгруппируем члены многочлена

Находим корни и разложим на множители

х = - 3 и х = 2, тогда х² + х – 6 = (х + 3)(х – 2), окончательно получаем

Все корни многочлена первой кратности, при переходе через корни знак промежутка меняется

Ответ