Чертеж на клетчатой бумаге.

         Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами.

В данных задачах размер клетки указан и выполняет роль линейки. Можно посчитав «по клеточкам» найти необходимые длины и решить задачу.

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге

О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Выбрать формулу площади треугольника для чертежа:

Посчитать «по клеточкам» - найти необходимые длины

а = 7 ед.

h = 4 ед.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Используйте клетки как линейку – длина 1 клетки равна 1, значит длина большей диагонали ромба равна 10 клеткам = 10.

Тест "Задание 18 ОГЭ"

Тест "Площади фигур. Теорема Пифагора."

Урок 1. Теорема Фалеса. Подобие.

Определение 1.

Отрезки AB и CD называются пропорциональными отрезкам A₁B₁ и C₁D₁

если    

Теорема Фалеса.

При пересечении сторон угла параллельными прямыми на сторонах угла образуются пропорциональные отрезки

Определение 2.

Если в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ углы соответственно равны - ∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁,

∟С = ∟С₁ – то противолежащие соответственно равным углам стороны (в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁) – АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ – называются сходственными.

Определение 3.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Подобие треугольников записывают так: ∆АВС ~ ∆А₁В₁С_1.

Итак,

∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁, ∟С = ∟С₁

где k – отношение сходственных сторон, называемое коэффициентом подобия.

Решение задач.

Чтобы найти неизвестные стороны подобных треугольников нужно:

1. Записать пропорциональность сходственных сторон (сходственные стороны лежат против равных углов).
2. Подставить значение известных сторон.
3. Вычислить неизвестную сторону, решив пропорцию.

Задача

Дано:

∆АВС ~ ∆MPK, (AB и MP, BC и PK – сходственные стороны). AB=12, ВC=15, PK=40, MK=24

Найти: MP и АС.

Решение:

Здесь А→М, В→Р, С→К.

Так как ∆АВС ~ ∆MPK и AB и MP, BC и PK – сходственные стороны (по условию), то    

Тогда     

 Из пропорции

Основное свойство пропорции:  МР∙15 = 12∙40, отсюда

Из пропорции

,

Основное свойство пропорции:

АС∙40 = 15∙24, отсюда

Ответ: АС=9, МР=32

Тест на платформе Skillspace  Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники

Дробные рациональные уравнения

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Например, рациональными являются уравнения а) – д)

а) 3х+4=2(1 – х²)

б)

в)

г)

д)

е)

Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями называют целыми уравнениями.

Например, целыми являются уравнения а, б (квадратные уравнения), в знаменателе число, а не выражение с переменной).

Рациональные уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробными рациональными уравнениями (в знаменателе есть переменная или выражение с переменной).

Например, такими являются уравнения в) – д)

Уравнение е) содержит иррациональность, и является иррациональным

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2. Найти общий знаменатель этих дробей
3. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель.
4. Решить получившееся целое уравнение.
5. Из корней этого уравнения исключить те, которые обращают в ноль общий знаменатель данного уравнения.

Рассмотрим следующее уравнение:

Разложим все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители

х² – 25 = (х-5)(х+5)

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен: (х-5)(х+5)

Умножим все члены данного уравнения на общий знаменатель при условии, что (х-5)(х+5)≠0, т.е. х≠-5, х≠5

И получим равносильное уравнение

(2х – 8)(х+5) + 10 = (х+4)(х – 5)

2х²+2х – 30 = х² – х – 20

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены

х² + 3х – 10 = 0

Решим получившееся целое уравнение

х= - 5, х=2

Исключим х = -5, т.к. он не удовлетворяет условию (х-5)(х+5)≠0

Значит, корень данного уравнения

х=2

1. Вычислить:

используем свойство  

2. Упростить выражение:

Если в под знаком корня есть число, которое можно представить в виде произведения двух чисел и при этом извлечь корень, то надо попробовать это сделать!

3. Внесите множитель под знак корня.

 4. Упростите выражение и найдите его значение при х=2,6:

используем свойство  

5. Сократите дробь:

6. Найдите значение выражения:

Для самостоятельного решения

ссылка на тест

Множество, подмножество, примеры множеств.

В математике некоторые понятия являются неопределяемыми (первичными). К ним относится понятие множества (например, в «Алисе в Стране чудес»: «Множество чего? – А ничего, просто множество»).

Множество – группа или набор объектов (предметов), обладающих каким-либо общим для всех них свойством или признаком.

Это утверждение не является определением, а лишь разъяснением. Множество – начальное понятие (как, например, точка, число), на основании которого строятся остальные понятия математики.

Множества можно составлять из различных объектов, как материальных, так и абстрактных, объединенных на основе самых различных признаков, содержащих различное количество элементов.

Под элементами множества в математике понимают объекты, составляющие множество.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы списком, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.

Описать множество можно словами, например,

B – множество планет солнечной системы.

Тогда

B = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер Сатурн, Уран, Нептун, Плутон(*)}.

(*) Плутон считался девятой планетой нашей звездной системы с момента открытия 1930 г. и до 2006 года.

Порядком множества называется число его элементов. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его порядком называется количество элементов. Если множество содержит бесконечное число элементов, оно называется бесконечным. Из бесконечных множеств можно выделить множества, элементы которых можно пронумеровать (множество натуральных чисел, множество, состоящее из членов арифметической или геометрической прогрессии, и т.д.) – счетные множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, а их элементы – строчными a, b, c, ….

Принадлежность элемента множеству записывают a ∈ A.

Пустое множество – множество, не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается .

Рассмотрим некоторые примеры множеств.

1. Множество натуральных чисел: {1, 2, 3....}. Множество содержит бесконечное число элементов.
2. Множество всех делителей числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Конечное множество, содержащее 6 элементов.
3. Множество всех выпуклых четырёхугольников. Множество содержит бесконечное число элементов. Несчётное множество.
4. Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения х² = -1. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество его решений – пустое.

Числовые множества.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Применяются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел. Множество N содержит числа, используемые для счета (целые положительные числа);

Z – множество целых чисел. Множество Z содержит целые отрицательные числа, 0, целые положительные числа;

Q – множество рациональных чисел {m/n | m ∈ Z;  n ∈ N}, состоящее из дробей, в числителе которых стоит целое число, а в знаменателе – натуральное.

R – множество действительных чисел. Множество действительных чисел R называется числовой прямой и обозначается (–∞; +∞).

Наглядную иллюстрацию множеств дают диаграммы   Эйлера- Венна, в которых элементы множеств изображаются точками некоторых кругов.

Множество А называется подмножеством множества B (A ⊂ B), если любой элемент множества  А принадлежит множеству В.

• любое множество, есть подмножество самого себя,
• пустое множество является подмножеством любого множества

• если A ⊂ B и В ⊂  А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А = В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

• если A ⊂  B и В ⊂   А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А =В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

Действия с множествами

Пусть даны множества А и В.

Объединением множеств А и В называется множество С (А U В = С), элементы которого являются элементами   А или элементами В.

Пересечением множеств А и В называется множество С (А∩ В = С), элементы которого являются элементами  А и элементами В одновременно.

Разностью множеств  А и В называется множество С (А\В = С), элементы которого являются элементами  А и не принадлежат В.

Примеры:

Практическая работа

Дано:

A={1; 2; 3; 5; 7; 10}

B={3; 4; 6; 9; 10}

C={2; 5; 7; 9; 11}

Найти:

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={x | x принадлежит A и x не принадлежит B}.

Пример:

A= {1; 3; 4; 6; 8}  

B= {4; 5; 6; 7; 9}

A\B ={1; 3; 8}                B\A = {5; 7; 9}.

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={х| x принадлежит А и х не принадлежит В}.

Графические изображения разности множеств.

A\ В  в  различных случаях

1. А ∩ В ≠  ∅

2. В ⸦ А

Тогда (A\B) ∪ В = А

А ∩ В = В

А ∪ В =A

3. Если А ∩ В =  

то А \ В = А

Примечание.

Если А ⸦ В, то   

Решение задач

Дано:       А = {3; 6; 7; 8; 9; 10};

В = {1; 4; 6; 8; 9; 11};

С = {2; 3; 7; 10; 12}

Найдите:

1. (A\B) ∩ C  = {3; 7; 10} ∩ {2; 3; 7; 10; 12} = {3; 7; 10}.

2. A\ (B∩C)  ={3; 6; 7; 8; 9; 10} \ ∅ = {3; 6; 7; 8; 9; 10}.

3. (А \ С)∩B ={6; 8; 9} ∩ {1; 4; 6; 8; 9; 11} = {6; 8; 9}.

4. C\ (А \ В) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {3; 7; 10} = {2; 12}.

5. С \ (A∩B) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {6; 8; 9} ={2; 3; 7; 10; 12}.

6. (В ∪ С) \ А ={1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} \ {3; 6; 7; 8; 9; 10} = {1; 2;  4; 11; 12}.

7. (А ∪ В) \ С ={1; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11} \ {2; 3; 7; 10; 12} =  {1; 4; 6; 8; 9; 11}.

8. (А ∪ С) \ В = {2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 12} \ {1; 4; 6; 7; 8; 9; 11} = {2; 3; 7; 10; 12}

ЗАКРЕПИТЕ МАТЕРИАЛ И РЕШИТЕ ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ ПО ССЫЛКЕ

Пособие предназначено для экспертов, поэтому обратите внимание на оформление ответов. Это, возможно, поможет добавить балл

Пройдите тест по уроку