Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Задача.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tg B.

Решение:

Противолежащий катет АС=27

Прилежащий катет ВС=9

Задача.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B=8/5, BC=20. Найдите AC.

Решение:

В ∆ АВС: АС – противолежащий катет, ВС – прилежащий катет, тогда по определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи на треугольники (и всё, что с ними связано)

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

  , подставляем значение   

И находим длину стороны этого треугольника

  значит, а = 48

(одинаковые элементы справа и слева от знака «=» взаимно уничтожаются)

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, описанной вокруг этого треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»

похожий чертеж:

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 30^о. Ответ дайте в градусах.

О чем задача –

1. О треугольнике, вокруг которого описана окружность
2. Об описанной окружности, центр которой лежит на стороне АВ

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то    треугольник – прямоугольный, а сторона, на которой лежит центр описанной окружности - гипотенуза этого треугольника

Смотрим на чертеж – угол АСВ = 90^о, угол ВАС = 30^о

Так как сумма углов треугольника равна 180^о и АСВ = 90^о, значит

угол АВС = 90^о – 30^о = 60^о

Чертеж на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1 х 1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

1. О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге
2. О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Находим, как вычислить площадь треугольника – чертеж и формула

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Формула площади треугольника

а = 7 ед.

h = 4 ед.

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О гипотенузе данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Гипотенуза – напротив прямого угла и это самая длинная из сторон

Применим формулу

  тогда с = 17

(Иногда полезно знать Пифагоровы тройки, но на экзамене лучше решать по формуле)

Рассмотрим похожую задачу

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О катете данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Отсюда катет равен

  (таблица квадратов есть в справочных материалах)

Тогда b = 9

Вектор - это отрезок, имеющий направление, поэтому, при решении задач надо придерживаться некоторых правил

Нельзя "крутить" вектор просто так: повернете - это уже будет совсем другое направление.

При сложении векторов используйте правило треугольника, параллелограмма и многоугольника

Пользуйтесь правилами и законами сложения векторов.

Например,

Чертеж на клетчатой бумаге.

         Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами.

В данных задачах размер клетки указан и выполняет роль линейки. Можно посчитав «по клеточкам» найти необходимые длины и решить задачу.

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге

О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Выбрать формулу площади треугольника для чертежа:

Посчитать «по клеточкам» - найти необходимые длины

а = 7 ед.

h = 4 ед.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Используйте клетки как линейку – длина 1 клетки равна 1, значит длина большей диагонали ромба равна 10 клеткам = 10.

Тест "Задание 18 ОГЭ"

Тест "Площади фигур. Теорема Пифагора."

Урок 1. Теорема Фалеса. Подобие.

Определение 1.

Отрезки AB и CD называются пропорциональными отрезкам A₁B₁ и C₁D₁

если    

Теорема Фалеса.

При пересечении сторон угла параллельными прямыми на сторонах угла образуются пропорциональные отрезки

Определение 2.

Если в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ углы соответственно равны - ∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁,

∟С = ∟С₁ – то противолежащие соответственно равным углам стороны (в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁) – АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ – называются сходственными.

Определение 3.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Подобие треугольников записывают так: ∆АВС ~ ∆А₁В₁С_1.

Итак,

∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁, ∟С = ∟С₁

где k – отношение сходственных сторон, называемое коэффициентом подобия.

Решение задач.

Чтобы найти неизвестные стороны подобных треугольников нужно:

1. Записать пропорциональность сходственных сторон (сходственные стороны лежат против равных углов).
2. Подставить значение известных сторон.
3. Вычислить неизвестную сторону, решив пропорцию.

Задача

Дано:

∆АВС ~ ∆MPK, (AB и MP, BC и PK – сходственные стороны). AB=12, ВC=15, PK=40, MK=24

Найти: MP и АС.

Решение:

Здесь А→М, В→Р, С→К.

Так как ∆АВС ~ ∆MPK и AB и MP, BC и PK – сходственные стороны (по условию), то    

Тогда     

 Из пропорции

Основное свойство пропорции:  МР∙15 = 12∙40, отсюда

Из пропорции

,

Основное свойство пропорции:

АС∙40 = 15∙24, отсюда

Ответ: АС=9, МР=32

Установите соответствие между знаками коэффициентов и графиками функций (задание ОГЭ)

Рассмотрим квадратичную функцию aх² + bx + c

Каждый коэффициент несет свою смысловую нагрузку:

– Знак коэффициента а показывает, как направлены ветви параболы:

– Знак коэффициента b показывает, как расположена вершина параболы относительно оси OY (в правой полуплоскости или левой полуплоскости):

– Знак коэффициента с показывает, где находится точка пересечения с осью OY (ось ординат)

Установите соответствие и впишите ответ

На рисунках изображены графики функций вида y=ax² +bx+c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

Решение:

ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY выше 0

график 3)

ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось OY выше 0

график 2)

ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY ниже 0

график 1)

ГРАФИКИ

Что такое граф?

Граф — это рисунок объектов – точек и связей между ними – соединяющих их линий. (например, схема метро, карта дорог, электросхема и т.п.)

Точки — вершины. Это объекты: люди, места, события.

Линии — ребра. Это связи между ними: дороги, знакомства, переходы. Каждое ребро соединяет ровно две вершины.

Правила:

1. Ребро соединяет ровно две вершины.
2. Форма линии (прямая или кривая) не важна.
3. Вершины можно рисовать где угодно.
4. Если линии пересеклись не в вершине — новая вершина (точка) не образовалась! Линии просто пересеклись

Пусть вершины графа – пуговицы. Соединим пуговицы нитками, нитки – это ребра графа. Нам неважно как именно лежат пуговицы и как проходят нитки, граф от этого не поменяется, ведь количество ребер и вершин останется тем же.

Нам важно – какие именно пуговицы соединены!

Пример 1: Граф-расписание

Вершины: Уроки: Математика (М), Русский язык (Р), Физкультура (Ф), История (И).

Ребра: связывают уроки, которые идут друг за другом (парами).

М — Р (с математики идешь на русский)

Р — Ф (с русского на физкультуру)

Ф – И ( с физкультуры на историю)

Получается цепочка: М–Р–Ф–И. Это путь по графу, где вершины и ребра не повторяются. Если граф состоит из одной единственной цепи, то такой граф называется цепью.

Граф: М — Р — Ф — И.

Пример 2: Граф-маршрут

Прямой дороги в школу нет. В школу можно пройти двумя маршрутами: через парк и через булочную.

Построим граф.

Места: Дом (Д), Парк (П), Булочная (Б), Школа (Ш). Дорожки между ними.
Граф показывает 2 пути: Д–П–Ш и Д–Б–Ш

Степень вершины. Теорема о сумме степеней вершины.

Степень вершины — это количество ребер, которые из неё выходят.

На графе – маршруте:

• Степень вершины Д (Дом) = 2 (ведет в Парк и в Булочную).
• Степень вершины Ш (Школа) = 2 (ведет в Парк и в Булочную).
• Степень вершины П (Парк) = 2 (ведет в Дом и в Школу).
• Степень вершины Б (Булочная) = 2 (ведет в Дом и Школу).

Теорема о сумме степеней вершины. В любом графе сумма степеней всех вершин является четным числом.

У каждого ребра два конца, поэтому сумма степеней всех вершин в два раза больше числа ребер, то есть четное число.

ПРАВИЛО: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер.

Свойство: В любом графе количество вершин нечетной степени четно.

Задачи.

№ 127 (Учебник)

На конференцию собрались ученые. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Решение:

По условию, дано 5 вершин с нечетной степенью 3.

Так как, согласно свойству, количество вершин нечетной степени четно, ответ - нет не может.

№ 130 (Учебник)

В некотором графе 6 вершин 6 вершин, степени которых равны

а) 2, 2, 3, 3, 4, 4;

б) 0, 1, 2, 2, 3, 4.

Сколько ребер в этом графе?

Решение:

Сумма степеней всех вершин в два раза больше числа ребер.

а) Сумма степеней равна: 2+2+3+3+4+4=18

значит количество ребер равно 18:2 = 9

Ответ: 9 ребер.

б) Сумма степеней вершин равна: 0+1+2+2+3+4=12

значит количество ребер: 12:2=6

Ответ: 6 ребер.

Подготовка к ВПР

Задача 1.1. 

Нарисуй граф для троих друзей: Аня, Боря, Ваня, если все они дружат между собой. Сколько ребер?

Решение: Вершины: А, Б, В. Ребра: А–Б, А–В, Б–В.

Ответ: 3 ребра. Граф — треугольник.

Задача 1.2 (Аналог ВПР). 

В графе пять вершин: А, Б, В, Г, Д. Известны рёбра: А–Б, А–В, Б–В, Б–Г, Г–Д. Найдите степень вершины Б.

Решение: Выпишем все рёбра, где есть вершина Б: А–Б, Б–В, Б–Г.

Ответ: Степень вершины (Б) = 3.

Задача 2.1

В графе 6 вершин. Степени пяти вершин равны: 3, 3, 2, 2, 2. Сколько в графе ребер, если степень шестой вершины равна 1?

Решение:

Сумма степеней равна: 3+3+2+2+2+1 = 13.

Количество ребер равно:  13 :2 = 6,5 — получается нецелое число! 

Сумма степеней должна быть четным числом

Ответ: Такого графа не существует

Задача 2.2

В графе 5 вершин. Степени четырех вершин: 2, 2, 1, 1. Чему равна степень пятой вершины, если в графе всего 4 ребра?

Решение:

Пусть х – степень пятой вершины, тогда

Сумма степеней вершин 2 + 2 + 1 + 1 + х

число ребер равно 4.  Сумма степеней равна удвоенному количеству ребер графа. Запишем уравнение: 2+2+1+1 + x = 8, решим его и получим

x = 2.

Ответ: Степень пятой вершины равна 2.

Некоторые задачи можно легко решить, зная следующие правила.

Определение: Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром (см. рисунок).

Число ребер в полном графе с n вершинами равно     

Задачи.

Задача (Аналог ВПР). 

В компании 7 человек обменялись рукопожатиями (каждый с каждым по разу). Сколько всего было рукопожатий?

Решение:

Первый пожал руку шестерым – всего 6 рукопожатий;

Второй уже пожал руку первому, поэтому осталось 5 рукопожатий.

Продолжаем рассуждать аналогично, в результате получим: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.

Второй способ:

Это полный граф с 7 вершинами. Каждое ребро — рукопожатие.

Используем формулу

Ответ: 21.

Задача 3.1

Маша, Даша, Глаша и Саша перед уроком физкультуры обменялись друг с другом «дай пять!» ровно по одному разу. Сколько всего было «дай пять!»? Нарисуй граф.

Решение: 

Аналогично рукопожатиям для 4-х человек. Граф — полный с 4 вершинами.

Ответ: 6

Задача 3.2 (аналог ВПР).

В классе 15 человек. У каждого есть ровно 3 друга в этом классе (дружба взаимная). Может ли так быть? Ответ объясните.

Решение: 

Применим теорему. Если у каждого 3 друга, то степень каждой вершины = 3.

Сумма степеней = 15 * 3 = 45.

Значит, число ребер 45 : 2 = 22,5.

Число ребер не может быть дробным.

Ответ: нет, не может. Сумма степеней всех вершин должна быть чётной.

Дробные рациональные уравнения

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Например, рациональными являются уравнения а) – д)

а) 3х+4=2(1 – х²)

б)

в)

г)

д)

е)

Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями называют целыми уравнениями.

Например, целыми являются уравнения а, б (квадратные уравнения), в знаменателе число, а не выражение с переменной).

Рациональные уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробными рациональными уравнениями (в знаменателе есть переменная или выражение с переменной).

Например, такими являются уравнения в) – д)

Уравнение е) содержит иррациональность, и является иррациональным

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2. Найти общий знаменатель этих дробей
3. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель.
4. Решить получившееся целое уравнение.
5. Из корней этого уравнения исключить те, которые обращают в ноль общий знаменатель данного уравнения.

Рассмотрим следующее уравнение:

Разложим все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители

х² – 25 = (х-5)(х+5)

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен: (х-5)(х+5)

Умножим все члены данного уравнения на общий знаменатель при условии, что (х-5)(х+5)≠0, т.е. х≠-5, х≠5

И получим равносильное уравнение

(2х – 8)(х+5) + 10 = (х+4)(х – 5)

2х²+2х – 30 = х² – х – 20

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены

х² + 3х – 10 = 0

Решим получившееся целое уравнение

х= - 5, х=2

Исключим х = -5, т.к. он не удовлетворяет условию (х-5)(х+5)≠0

Значит, корень данного уравнения

х=2

1. Вычислить:

используем свойство  

2. Упростить выражение:

Если в под знаком корня есть число, которое можно представить в виде произведения двух чисел и при этом извлечь корень, то надо попробовать это сделать!

3. Внесите множитель под знак корня.

 4. Упростите выражение и найдите его значение при х=2,6:

используем свойство  

5. Сократите дробь:

6. Найдите значение выражения:

Для самостоятельного решения

ссылка на тест