Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

  Возьмём 1 часть первой пиццы= \(\frac{1}{4}\)​  и    2 части второй пиццы= \(\frac{2}{8}\)

Посмотри внимательно на рисунки:     \(\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\) - это основное свойство дроби. Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

\(\frac{1}{4} =\frac{1\cdot2}{4\cdot2}= \frac{2}{8}\)​

Рассмотрим, следующий пример:

Зная основное свойство дроби, ты можешь сокращать дроби.

Например,  \(\frac{10}{12}=\frac{10:2}{12:2}=\frac{5}{6},\ таким\ образом,\ \frac{10}{12}=\frac{5}{6} -несократимая\ дробь\)

или запись короче    

Чтобы сократить дробь надо и числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же натуральное число - общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Если числитель и знаменатель дроби можно ещё раз разделить на одно и то же число, то продолжаем сокращать дробь пока полученная дробь  не станет несократимой.

Например,     \(\frac{30}{150}=\frac{30:10}{150:10}=\frac{3:3}{15:3}=\frac{1}{5},\ таким\ образом,\ \frac{30}{150}=\frac{1}{5}-несократимая\ дробь\)

Можно сразу разделить и числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель.

\(\frac{30}{150}=\frac{30:30}{150:30}=\frac{1}{5}-несократимая\ дробь\)

 КУРС по АРИФМЕТИКЕ по ССЫЛКЕ.

Урок 1. Натуральные числа. Делители натурального числа.

Натуральные числа – это числа, которые мы используем для счета:

1, 2, 3, …, n, ...

         Можно представить, что натуральный ряд – это бесконечная прямая дорога, на которой расставлены метки. На больших дорогах, идущих от крупных городов, обычно стоят столбы, которые отмечают по порядку километры. А мы отметим на бесконечной дороге столбы с натуральными числами, начиная с 1.

В натуральном ряде у каждого числа, кроме первого, имеются два соседних: число, ему предшествующее и число, за ним следующее. Например, соседи числа 3 – это 2 и 4.

         Если обозначить какое-либо натуральное число, большее 1 латинской буквой n,

то предшествующее ему число будет n – 1,

а следующее за ним число n+1.

Что такое делитель натурального числа?

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить 20 яблок между 6 ребятами (не разрезая), то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся.

Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делителем натурально числа n называют такое натуральное число, на которое число n делится без остатка.

Запишем все натуральные делители числа 20.

Такими числами являются 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Чтобы быстро находить делители числа, нужно знать признаки делимости чисел. С признаками делимости чисел познакомимся на следующем уроке.

         Разминка для ума

Задача 1.

Многоголовый змей знает 105 слов, причем каждая голова знает одинаковое количество слов и разные головы не знают одного и того же слова. Сколько голов у змея, если их больше 10, но меньше 20?

Какое наименьшее количество голов нужно использовать змею, чтобы сказать 40 разных известных ему слов?

Задача 2.

Разделите 5 яблок, находящихся в корзине, между пятью друзьями так, чтобы каждый получил по одному яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Урок 2. Признаки делимости

Для того, чтобы написать число, мы пользуемся цифрами.

Всего используется десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0.

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Как известно, классе, чтобы умножить натуральное число на 10, нужно к записи этого числа дописать справа один нуль, например, 137 * 10=1370.

Поскольку 10 является делителем числа 1370, то число 1370 делится на 10. В общем, на 10 делятся все числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Число, запись которого не оканчивается цифрой 0, например, 457, на 10 не делится.

Натуральное число, запись которого оканчивается на 0, делится на 10.

Найдём признак делимости на 5. Для этого разделим на 5 некоторые числа, например, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.

Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 5, а во второй – те, которые не делятся на 5.

 140                       19

 245                       82

 515                       344

 630                       1027

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0 или 5, делится на 5.

Числа, которые делятся на 2 называют четными, а числа, которые не делятся на 2 называют нечетными. Например, 24 – число четное, поскольку оно делится на 2, а число 25 – нечетное, поскольку оно не делится на 2.

Однозначные числа 0, 2, 4, 6, 8 являются четными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 – нечетными. В натуральном ряде четные и нечетные числа чередуются.

Запись каждого числа, которое делится на 2, оканчивается однозначным четным числом. Если запись числа оканчивается однозначным нечетным числом, то оно на делится на 2.

Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным четным числом, делится на 2.

Кроме действий сложения и вычитания, существуют действия умножения и деления. Чтобы легко выполнять умножение чисел, нужно прежде всего хорошо знать таблицу умножения.

Что значит умножить 3 на 4? Это значит: 3+3+3+3, то есть число 3 взяли 4 раза. Мы переходим от сложения одинаковых слагаемых к умножению.

Запомни:  а ∙ 1 = а,   1 ∙ а = а,    а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0

 Начнём с простых примеров. Повторим запись решения "столбиком" 

Найдите произведение: 18 ∙ 14=252

 Умножение чисел на 10, 100, 1000 и т.д.  или оба сомножителя оканчиваются нулями.

При умножении на 10, 100, 1000 и т.д. можно воспользоваться простым правилом.  Приписать в произведении столько нулей сколько в обоих множителях, например:

12 ∙ 10 = 120

582 ∙ 100 = 58200

3450 ∙ 1000 =3450000

13700 ∙ 14000 = 191800000 

Если в записи сомножителей есть нули, выписывать ряды нулей при умножении в столбик нет необходимости! Надо передвинуть запись на другой разряд, например:

5386 ∙ 4002 = 21554772

Так же, как вычитание - действие, обратное сложению. Деление определяется как действие, обратное умножению.

Запомни!  На ноль делить нельзя!  

a : 1 = a

Рассмотрим несколько примеров:

12 : 3 = 4         120 : 3 = 40        3600 : 4 = 900

5400 : 30 = 540 : 3= 180

6800 : 400 = 68 : 4 = 17

 Деление многозначного числа на однозначное рассмотрим на следующем примере:

68922 : 9 = 7658

Научись решать примеры на моем бесплатном курсе "Арифметика"

  Арифметика.

Сложение и вычитание натуральных чисел.

Натуральные числа - это числа, которые мы используем для счета: 1, 2, 3, ... , ...

С натуральных чисел мы и начнем повторение математики. 

Самое простое арифметическое действие - сложение. При сложении "столбиком", главное - записать слагаемые правильно. А именно: единицы - под единицами, десятки - под десятками, сотни - под сотнями, ... , разряд - под разрядом.

Сложение идет справа налево, начиная с единиц и далее, разряд за разрядом.

  $70244+23150=93754$

Запомни следующие правила:   

1) a + b = b + a  - от перемены мест слагаемых сумма не меняется

    2 + 5 = 5 + 2 =7

2) а + 0 = 0 + а = а     

   125 + 0 = 125

   0 + 125 = 125 

Замечательно, когда при сложении разрядов, не надо переходить в следующий, но так бывает не всегда. Сумма разряда может быть 10 и более (значит это уже следующий разряд).

Тогда единицы в полученной сумме записываем под единицами, и добавляем 1 к следующему разряду. 

Рассмотрим следующие примеры:

$152307+246724=399031$

Найдите сумму. Сопоставьте пример и ответ.

Вычитание натуральных чисел.

Вычитание - это действие, обратное сложению.

Запомни!    При вычитании  а – 0 = а,      а – а = 0

При вычитании "столбиком" записываем числа также, как и при сложении, выравнивая по правому краю. Единицы - под единицами, десятки - под десятками и.т.д. Но что делать, если уменьшаемое - число сверху, меньше вычитаемого - числа снизу?!

В этом случае надо занять у "старшего" разряда (то число, что стоит слева в уменьшаемом) 1 - единицу. И не забудь поставить точку над "старшим" числом - ты же занял! Теперь "старший" уменьшился на 1, а "младший"- увеличился на 10. Вот такая математика...

 Рассмотрим несколько примеров

$255437-3206=52231$

$14065-2337=11728$

Найдите разность. Сопоставьте пример и ответ.