Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

УРОК 4

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств – метод интервалов

Решить неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0

1. Найти корни уравнения х² + 2х – 3 = 0, х₁ = - 3 и х₂ = 1
2. на числовой оси отметить корни уравнения

Эти точки разбили числовую ось на три промежутка:

3. определить знак выражения на промежутках:

при х = 0, выражение х² + 2х – 3 = - 3 < 0, при переходе к следующему промежутку знак меняется (чередование знака)

выделить штриховкой промежуток, где неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0 выполняется

4. записать ответ

Решить неравенство

Выражение уже разложено на множители, найдем корни выражения

отметим на числовой прямой  и определим знак выражения на каждом промежутке

Решением неравенства

являются промежутки        

Решить неравенство

При решении неравенства методом интервалов важно знать четность степени многочленов, входящих в неравенство.

В разложение многочлена на множители входит сомножитель (х – х₀)^k

х₀ – корень многочлена кратности k, если

k – четное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется)

k – нечетное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет противоположный знак (т.е. знак многочлена меняется)

Разберем на примере нашего неравенства

(х + 5)⁸ , где х₀ = - 5, кратность степени k=8 – четная

(х + 2)³  , где х₀ = - 2, кратность степени k=3 – нечетная

х , где  х₀ = 0, кратность степени k=1 – нечетная

(х – 1)²  , где х₀ = 1, кратность степени k=2 – четная

(х – 3)⁷ , где х₀ = 3, кратность  степени k=7 – нечетная

Нанесем корни на числовую ось и отметим буквами четность кратности этих корней: Ч – четная, Н – нечетная

Используя четность кратности корней, отметим знаки в промежутках

Находим при каких х многочлен неотрицательный, решение неравенства

Если неравенство не имеет вида, как в данных примерах, то неравенство надо привести к данному виду, используя те или иные приемы, соблюдая правила равносильности неравенств

Решить неравенство

Перенесем все в левую часть и разложим многочлен в левой части на множители

Представим в виде: - 7х = - 6х – х  и сгруппируем члены многочлена

Находим корни и разложим на множители

х = - 3 и х = 2, тогда х² + х – 6 = (х + 3)(х – 2), окончательно получаем

Все корни многочлена первой кратности, при переходе через корни знак промежутка меняется

Ответ