Геометрия ОГЭ. Треугольник.



Треугольник, описанная окружность, чертеж на клетчатой бумаге.



Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

 

 

Задачи на треугольники (и всё, что с ними связано)

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника

                                                                                

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

  , подставляем значение   

И находим длину стороны этого треугольника

  

  значит, а = 48

(одинаковые элементы справа и слева от знака «=» взаимно уничтожаются)

 

 

 

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

                                                                                                

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус вписанной окружности

 

 

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

                                                                              

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, описанной вокруг этого треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»

похожий чертеж:

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус описанной окружности

 

 

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 30о. Ответ дайте в градусах.

                                                                                    

О чем задача –

  1. О треугольнике, вокруг которого описана окружность
  2. Об описанной окружности, центр которой лежит на стороне АВ

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то    треугольник – прямоугольный, а сторона, на которой лежит центр описанной окружности - гипотенуза этого треугольника

Смотрим на чертеж – угол АСВ = 90о, угол ВАС = 30о

Так как сумма углов треугольника равна 180о и АСВ = 90о, значит

угол АВС = 90о – 30о = 60о

 

Чертеж на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

                                                                                   

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1 х 1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

                                                                                       

О чем задача –

  1. О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге
  2. О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Находим, как вычислить площадь треугольника – чертеж и формула

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Формула площади треугольника

 

а = 7 ед.

h = 4 ед.

 

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

О чем задача –

  1. О прямоугольном треугольнике
  2. О гипотенузе данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Гипотенуза – напротив прямого угла и это самая длинная из сторон

Применим формулу

  тогда с = 17

(Иногда полезно знать Пифагоровы тройки, но на экзамене лучше решать по формуле)

 

Рассмотрим похожую задачу

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

                                                                        

О чем задача –

  1. О прямоугольном треугольнике
  2. О катете данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Отсюда катет равен

  

  (таблица квадратов есть в справочных материалах)

Тогда b = 9

 

 

 

 


Геометрия. Задача 18 ОГЭ



Чертеж на клетчатой бумаге, задание 18



Чертеж на клетчатой бумаге.

         Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами.

В данных задачах размер клетки указан и выполняет роль линейки. Можно посчитав «по клеточкам» найти необходимые длины и решить задачу.

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

                                                                                   

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

 

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

                                                                                       

О чем задача –

О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге

О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Выбрать формулу площади треугольника для чертежа:

 

Посчитать «по клеточкам» - найти необходимые длины

а = 7 ед.

h = 4 ед.

 

 

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

 

 

 

Используйте клетки как линейку – длина 1 клетки равна 1, значит длина большей диагонали ромба равна 10 клеткам = 10.

Тест "Задание 18 ОГЭ"

 

 

 


Трапеция, параллелограмм, касательная к окружности

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Какое из следующих утверждений верно?

  1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
  2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов.
  3. Диагонали ромба равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение:

Это задача на выбор правильного утверждения

Лучше всего начертить данное утверждение, тогда все станет понятно

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника – это утверждение неверно, т.к. центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе, а в тупоугольном треугольнике – центр находится вне данного треугольника

(см. Математика в схемах и таблицах/ И.В. Третьяк)

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов – это утверждение верно, т.к. сумма углов любого треугольника равна 180 градусов

Диагонали ромба равны – это утверждение неверно, достаточно начертить ромб и провести в нем диагонали

                   

 Записываем номер – 2

 

В треугольнике АВС угол С равен 900, АС=16, АВ=40. Найдите Sin B.

Решение

 

Противолежащий катет АС=16

Гипотенуза АВ=40

 

                              

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение

О чем задача – о равнобедренной трапеции

Что надо найти – большее основание трапеции исходя из рисунка.

Обозначим буквами, данные на чертеже:

АВСD – равнобедренная трапеция АВ = CD, АD – большее основание (его надо найти)

ВС = 6 – меньшее основание,

ВН = 5 – высота, угол А = 450

Проведем дополнительно высоту СН1, тогда основание AD = АН+НН1+Н1D

Т.к. угол А = 450, то АН = 5, соответственно  Н1D = 5, НН1 = ВС = 6,

тогда AD = 5+6+5=16

 

 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС

Решение

О чем задача – о средней линии треугольника.

В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции:

Средняя линия треугольника АВС – это половина основания АС

Считаем количество клеток основания АС – 8 клеток

По условию задачи размер клетки 1 х 1, значит сторона клетки =1, тогда средняя линии равна

8:2 = 4

 

     

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 590. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

О чем задача – о трапеции, вписанной в окружность.

Что надо найти – один из углов этой трапеции.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800, тогда

∟А + ∟С  = 1800, следовательно

∟С = 1800 – ∟А = 1800 – 590 = 1210

Окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, значит трапеция ABCD – равнобедренная.

Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны: ∟В =∟С  и  ∟А = ∟D

Тогда ∟В =∟С  = 1210

 

             

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Что надо найти – среднюю линию трапеции.

В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции:

В условии даны длины оснований, поэтому подставим значения в формулу и найдем среднюю линию трапеции:

    

Заметим, что высота здесь – лишнее значение

 

                      

 

Ответ записывается без пробелов, запятых, точек – 13

 

Решение

  1. В справочных материалах есть формула площади треугольника. Действительно, площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. Это верное утверждение

 

 
  1. В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции.

Это утверждение неверно.

 

  1. Данное утверждение – один из признаков подобия треугольников (теорема). Данное утверждение верно.

 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

В справочных материалах есть формула площади параллелограмма

Считаем количество клеток основания а – 6 клеток

Высота (красная линия) h – 3 клетки

По условию задачи размер клетки 1 х 1, значит сторона клетки =1

а=6, h=3, подставим в формулу площади

S=ah =6*3=18

Ответ  

 


Треугольник, трапеция, четырехугольник и окружность

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

 

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Один из углов прямоугольной трапеции равен 64о. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

  1. О чем задача – о прямоугольной трапеции, значит два угла прямые (по 90о). Сумма углов четырехугольника равна 360о, значит оставшиеся два угла равны 360о – 90о – 90о =180о
  2. Один из углов равен 64о, значит больший угол равен 180о – 64о  =116о

 

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке пересечения О, АС = 22, BD = 24, АВ = 3. Найдите DO.

Решение:

О чем задача – о диагоналях параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам.

Что надо найти? – DO – это половина диагонали BD, которая по условию равна 24.

Значит DO = BD:2 = 24:2 = 12

 

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 92о, угол CAD равен 600. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

О чем задача – об углах вписанного четырехугольника.

Что надо найти – угол ABD, который находится внутри угла АВС

Угол АВС равен 92о, если узнать величину угла CBD, то можно найти угол ABD.

Рассмотрим чертеж

угол CAD (красный) опирается на дугу CD

угол CBD (синий) опирается также на дугу CD

Углы опираются на дуги, если дуги, на которые они опираются одинаковые, то и градусная мера этих углов тоже одинаковая (углы равны), значит ∟ CBD = ∟ CAD = 600

∟ ABD = ∟ АВС – ∟ CBD = 92о – 600 = 320

 

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

 

О чем задача – о биссектрисе равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике биссектриса является медианой и высотой, значит можно рассмотреть полученный прямоугольный треугольник, где сторона а=10√3 и b – искомая биссектриса

В справочном материале такой раздел есть, также есть значения тригонометрических функций

Тогда  

Тогда биссектриса равна

 

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

О чем задача – об отрезке средней линии трапеции

Если внимательно посмотреть на чертеж, то становится понятным, что искомый отрезок – это средняя линия треугольника

   В справочном материале есть раздел о средней линии треугольника и трапеции

Искомый отрезок равен половине основания, значит ответ 19:2 = 9,5