Учебная литература. Сборник задач математика для техникумов с решениями
И.В. Соловейчик, В.Т. Лисичкин Сборник задач по математике для техникумов
В сборник включены задачи по всем разделам курса математики, изучаемого в техникумах, колледжах. Каждая глава содержит краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач и задачи. Ко всем задачам даны ответы, ко многим - указания и решения.
Учебная литература. Сборник задач по высшей математике. 1 курс Лунгу К.Н., Письменный Д.Т.
Учебная литература. Сборник задач по высшей математике. 2 курс Лунгу К.Н., Норин В.П.
Учебная литература. Шень А. Вероятность: примеры и задачи. |
Функции. Графики степенной, показательной и логарифмической функций.
Практическое занятие №34
Построение графиков степенных, показательных, логарифмических функций
|
|
|
|
|
|
Остановимся на построении квадратичной функции. Графиком квадратичной функции является парабола.
Первое, что необходимо сделать – найти вершину параболы (х0; у0)
Проводим ось симметрии параболы х = х0
Смотрим куда направлены ветви параболы (вверх или вниз)
Находим точки пересечения с осями координат. Не всегда можно найти рациональные координаты с осью ОХ. Если это невозможно (значение дискриминанта является иррациональным числом) используйте другие точки, например:
График степенной функции зависит от показателя степени. Рассмотрим следующие графики
|
|
|
|
|
|
Показательная функция
Функция вида y = ax, где а > 0, a≠1
Сравните поведение этих двух функций на одном графике.
Логарифмическая функция
Логарифмической функцией нназывается функция вида y = loga x, где а>0, a≠1
а>1, а=3
0<a<1, а = 
Показательная и логарифмические функции взаимнообратные. Рассмотрим симметрию графиков этих функций относительно оси симметрии у = х
|
|
|
Использование графиков функций для решения уравнений
Решением уравнения является точка пересечения графиков функций.
Задачи для самостоятельного решения:
Постройте график функции: 
Решить графически уравнение:
.
Глава 7 «Графики и функции», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.
Список использованных интернет-ресурсов:
Функции. Графики.
Лекция. Преобразование графиков.
Все преобразования графиков функций можно свести к следующим правилам.
Рассмотрим на примере.
Чтобы построить графики других функций, содержащих аргумент (x) под знаком квадратного корня, воспользуемся перечисленными выше правилами. Заданный график повторим во вновь начерченных осях "карандашом бледно", требуемый график, который получится после преобразований, сделаем более интенсивным. В тетради лишнее можно будет удалить ластиком, останется только результат выполнения задания.
Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить - оси или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.
Список использованных интернет-ресурсов:
Функции. Лекция. Степенные показательные и логарифмические функции.
Лекция. Степенные, показательные, логарифмические функции, их свойства и графики.
График функции у = х1 = х – это прямая,
график, где степень – положительное натуральное число представлен ниже
|
|
|
|
Например, y = x2 |
Например, y = x3 |
|
При отрицательном показателе |
|
|
|
|
|
Например, |
Например, |
В зависимости от того, каким числом является показатель степенной функции и определяется ее дальнейшее поведение и ее основные свойства: область определения, монотонность, экстремумы.
Показательная функция
Логарифмическая функция
Глава 7 «Графики и функции», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.
Список использованных интернет-ресурсов:
Функции. Способы задания функции. Свойства и графики.
Лекция. Функция. График функции. Свойства функции.
Например
Аналитический способ – это способ задания функции с помощью формулы.
Например, формула y = x -2 показывает, как с помощью значения аргумента x вычислить соответствующее ему значение функции y.
Табличный способ – это способ задания функции с помощью таблицы со значениями.
Например, если измерять температуру воздуха каждый час в течении суток, то каждому часу (t) будет соответствовать определённая температура (T). Такое соответствие можно записать в виде таблицы:
|
t (ч) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
T (°) |
14 |
14 |
14,5 |
14,5 |
15 |
15 |
16 |
16 |
16 |
16,5 |
16,5 |
17 |
|
|
||||||||||||
|
t (ч) |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
|
T (°) |
18 |
20 |
22 |
24 |
24,5 |
24,5 |
24 |
23 |
21 |
20 |
18 |
16 |
Следовательно, T функция от t – T(t), определённая с помощью множества целых чисел от 0 до 24 и заданная таблицей. Соответствие между величинами двух переменных задаётся в данном случае не формулой, а таблицей.
Графический способ – это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой.
Графики позволяют быстро находить значение функции по значению аргумента и наоборот – значение аргумента по значению функции. Например, рассмотрим уже готовый график функции:
Чтобы узнать, какое значение функции будет соответствовать аргументу x = 1, надо провести из соответствующей точки оси абсцисс (оси x) перпендикуляр на график. Ордината точки пересечения перпендикуляра с графиком (точки M) и будет соответствующим значением функции. Поэтому, так как точка M имеет координаты (1; 2), то запись этих значений в виде функции будет выглядеть так: y (1) = 2.
График функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией, или линия, состоящая из точек плоскости с координатами (x, f(x)).
Рассмотрим некоторые задачи.
Список использованных интернет-ресурсов:
Экзамен по математике 1 курс (колледж, техникум)
Консультация по математике.
В 2019/2020 учебном году экзамен по математике проводится дистанционно в форме теста. Работа состоит из двух частей. Ознакомьтесь с инструкцией.
Примеры заданий обязательной части:
При прохождении теста обратите внимание на форму записи ответа, например в задании, где необходимо составить уравнение прямой, ответ записывается в виде:
Если ответ в задании не является целым числом или конечной десятичной дробью, то необходимо произвести округление, согласно условия, например:
В ряде заданий обязательной части необходимо произвести выбор из предложенных вариантов, например:
Обязательная часть экзамена проверяется автоматически после завершения теста. Обязательная часть – оценка «удовлетворительно».
Дополнительная часть проверяется преподавателем. Необходимо прикрепить файл (фотографию решения) в окне ответа.
Рассмотрим подробно решение экзаменационных заданий.
Решение демонстрационного варианта.
1. Составьте ур-е прямой, проходящей ч/з точки А(2;7) и В(1; -3)
Решение:
(y-7) = 10(x-2)
y-7= 10x-20
y=10x -13
Ответ: y=10x -13
2. Решите уравнение: 
=
Решение:
=
=
5x+1=4x
x= -1
Ответ: x= -1
3. Найдите значение cosα, если известно, что sinα = 
и α-угол первой четверти.
Решение:
cosα =
= 
= 
= 
Ответ: cosα =
4. Решите уравнение: 
(x+1) =2
Решение:
(x+1) =2
x+1=4
x=3
Ответ: x=3
- Решите уравнение: cos2x=
Решение:
cos2x=
2x=± (π 
) +2πn, n ϵ z
2x=± 
+2πn, n ϵ z
x=± 
+ πn, n ϵ z
Ответ: x = ± + πn, n ϵ z
6. Решите уравнение: x-6=
Решение:
x-6=
=
ОДЗ 
=
=7 
= 4 не подходит по ОДЗ
Ответ: =7
7. Найдите значение выражения: 
∙
Решение:
∙
=
=
=225.
Ответ: 225.
8. Найдите значение выражения: 
∙
Решение:
∙
=
∙
=
=
=
=7
Ответ: 7
9. Найдите значение выражения
Решение:
= 
= 5
Ответ: 5
10. Найдите 
Решение:
Ответ: 
11. Найдите 
Решение:
Ответ: 
12. Найдите наименьшее значение функции 
на 
Решение:
Указанному интервалу принадлежит 
Ответ: Наименьшее значение функции на 
13. На 1000 эл. лампочек в среднем приходится 7 бракованных. Какова вероятность, что взятая наугад лампочка окажется исправна?
Решение:
P (A) 
Ответ: P (A) =0,993
14. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющую точки 
Решение:
-середина отрезка
Ответ: 
15. В правильной 4-х угольной пирамиде сторона основания=8, а длина бокового ребра=9. Найдите высоту пирамиды.
Решение:
1) Рассмотрим Δ ADC ∠D=90°
Дано: 
SABCD - прав. Пирамида AC=
SC=9 OC=
AD=8 2) Рассмотрим ΔSOC
SO-? 
Ответ: 7
16. Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса лежит на оси цилиндра, высота конуса относится к высоте цилиндра как 3:4. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 25. 
Решение: 
Дано:
X- коэф. пропорц.
Ответ: 
17. Вычислить 
Решение:
Ответ: 36
18. Найдите площадь фигуры , ограниченной линиями
y=x2+1,y=0,y=-1,x=2.
Решение :
Ответ : 
кв.ед.
Дополнительная часть
- Найдите промежутки убывания функции.
Решение:
Функция возрастает 
Функция убывает 
- Решите уравнени
1=0 и укажите корни принадлежащие отрезку 
.
Решение :
1= 0
2(1- cos2x) - cos x - 1 = 0
t 1,2= 
; t1= 
, t2= -1
х1=± 
не входит в отрезок
Ответ: x= 
- Решите уравнение
Решение:
log2 32 = 5
ОДЗ х>0
Замена переменной t= 
t 1,2= 
t1=4 t2= -3
х1=16 x2= 
Ответ : 
- Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства
Решение:
Ответ : 2 числа : 1 и 2 .
Тренируемся по ссылке:
Элементы стереометрии. Двугранный угол.
("Математика" Н.В.Богомолов, П.И.Самойленко учебник для ссузов)