1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучают случайные явления (события) и выявляют закономерности при многократном их повторении.

2. Основные понятия и определения

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий называется испытанием.

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результат этого действия или наблюдения называется случайным событием. Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти.

Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием или искомым исходом.

Все рассматриваемые события считаются равновозможными, т.е. такими, которые имеют равные возможности произойти. Так при бросании кости может появиться 1 очко, 2, 3, 4, 5 или 6 очков и эти исходы испытания являются равновозможными (равноправными при соблюдении некоторых условий.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D.

         Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.

Например, (задача 40)

Бросают игральную кость. Найдите вероятность того, что:

а) выпадет четное число очков (событие А); выпадет число очков кратное 3 (событие В); в) выпадет любое число очков (событие С).

(Ответы: 41 – 095; 42 – 0,8; 43 – 1/60)

Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад две точки, учащийся получит нужную прямую.

(Ответы: 45 – 136/465; 91/465; 46 – 1/10; 47 – 1/n!; 48 – 1/120)

Лекция. Сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое определение вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А)

n – число всех исходов (количество всех опытов)

тогда вероятность наступления события А:

Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1. Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1

2. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0
3. Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Подготовка к экзамену

Задача 1

Решение:

А – событие появления двух черных шаров.

Всего шаров 12+8=20,

тогда  общее число возможных случаев n = число сочетаний из 20 по 2 ( по условию задачи вынимаем 2 шара) 

Число случаев m – благоприятных исходов событию А – число сочетаний из 8 по 2 (черных шаров по условию задачи – 8, и вы можете сразу вытянуть 2 черных шара),

тогда вероятность появления 2 черных шаров будет равна

Ответ: 0,147

Задача 2

Решение:

А – событие появления двух бракованных деталей

Всего деталей 18,

тогда  общее число возможных случаев n = число сочетаний из 18 по 5 ( по условию задачи наугад выбирают 5 деталей из 18) 

Число случаев m – благоприятных исходов событию А

Считаем:

5 – взятых наугад деталей (по условию), значит из них должно быть 3 –  качественных и 2 – бракованных (это в идеале).

4 – это количество бракованных деталей во всей партии (по условию задачи), тогда число выборки 2 бракованных деталей – число сочетаний из 4 по 2

14 – это количество качественных деталей во всей партии (18 - 4=14), тогда число выборки 3 качественных деталей – число сочетаний из 14 по 3

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, значит число исходов, благоприятных событию А будет равно

Окончательно, искомая вероятность равна

Ответ: 0,255

Теоремы о сложении вероятностей.

где А и В – это события.

Р(А) – вероятность события А

Р(В) – вероятность события В

Р(АВ) – вероятность их совместного появления.

- ненаступление события А (событие, противоположное событию А)

Теоремы умножения вероятностей

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым  от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

где А и В – это события,

Р(А) – вероятность события А

Р(В) – вероятность события В

Р(АВ) – вероятность их совместного появления.

Глава 11 «Элементы теории вероятности и математической статистики», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://23.edu-reg.ru/
2. https://urait.ru/

Построение графиков тригонометрических  функций

Рассмотрим построение графиков тригонометрических функций

Пример 1

Построить график функции.   y = Sin 2x  

Сначала изобразим график синуса, его период равен T=2π:

Обратите внимание на масштаб в данных чертежах.
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку π≈3.14 ; π/2≈1.57; 2π≈6.28 и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра. Поэтому можно сделать это проще, зная поведение синусоиды. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её  к оси OY в 2 раза:

То есть, график функции   y = Sin 2x     получается путём сжатия графика   y = Sin x    к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже сократился на половину: T=π

Пример 2

Построить график функции y = Cos 3x, значит график функции y = Cos x  сжимается к оси OY в 3 раза:

Итоговый график y=Cos3x  проведён красным цветом.
Исходный период T=2π  косинуса закономерно уменьшается в три раза: T=2π/3 (отграничен жёлтыми точками).

Пример 3

Построить график функции y=Sin x/2 т.е растягиваем синусоиду от оси OY в 2 раза:

То есть, график функции 

y=Sin x/2  получается путём растяжения графика y=Sin x от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: T=2π*2=4π 

Пример 4

Построить график функции  

График синуса y=Sin x (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси OX на π/2  влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику

Это в точности график косинуса y=Cos x.  

По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения 

График  функции y=Cos x  получается путём сдвига синусоиды y=Sinx вдоль оси OX на π/2 единиц влево.

Пример 5

Построить графики функций y=2Sin x, y=1/2 Sin x .

Вытягиваем синусоиду вдоль оси  OY  в 2 раза:

Период функции y=2Sinx не изменился и составляет T=2π, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: 

Построение второго графика: сожмём синусоиду вдоль оси OY  в 2 раза:

Аналогично, период T=2π  не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза:

Пример 6

Построить графики функций y=Sin x + 2, y=Sin x -1 .

В первом случае переносим синусоиду на 2 единицы в вверх по оси OY,

Во втором – вниз на 1 единицу по оси OY.

Глава 7 «Графики и функции», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/
2. http://mathprofi.ru/
3. https://23.edu-reg.ru/

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения.

Обратные тригонометрические функции, их графики, свойства. Простейшие тригонометрические уравнения.

Тема: Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения.

Обратные тригонометрические величины.

Рассмотрим график функции y = 

На промежутке  функция y =  возрастает и каждое свое значение принимает один  раз. Следовательно на этом промежутке можно установить взаимно однозначное соответствие точек отрезка  оси ординат и точек дуги окружности .

В связи с этим можно ввести понятие арксинуса числа:

Рассмотрим график функции y = cos x

На промежутке  функция y =  убывает и каждое свое значение принимает один раз. Следовательно на этом промежутке можно установить взаимно однозначное соответствие точек отрезка  оси абсцисс и точек дуги окружности .

В связи с этим можно ввести понятие арккосинуса числа:

Рассмотрим график функции y = tg x

На промежутке  функция y =  возрастает и каждое свое значение принимает 1 раз. Следовательно на этом промежутке можно установить взаимно однозначное соответствие между значениями тангенса и точками дуги .

В связи с этим можно ввести понятие арктангенса числа:

Рассмотрим график функции y = ctg x

На промежутке  функция y =  убывает и каждое свое значение принимает один раз. Следовательно на этом промежутке можно установить взаимно однозначное соответствие между значениями котангенса и точками дуги  

В связи с этим можно ввести понятие арккотангенса числа:

Примеры и задачи:

1. Вычислить: arccos 0

Решение:

arccos 0 =   (данное решение принадлежит промежутку )

2. Вычислить: arccos 

Решение:

 arccos  =  =  =    (данное решение принадлежит промежутку)

3. Вычислить: arcsin 1

Решение: arcsin 1 =   (данное решение принадлежит промежутку  )

4. Вычислить: arcsin 

Решение: arcsin  =   =     (данное решение принадлежит промежутку  )

5. Вычислить: arctg 1

Решение : arctg 1 =   (данное решение принадлежит промежутку )

6. Вычислить: arctg 

Решение: arctg =  =     (данное решение принадлежит промежутку    )

7. Вычислить: arcctg 1

Решение: arcctg 1 =   (данное решение принадлежит промежутку  )

8. Вычислить: arcctg 

Решение: arcctg  =  =  =  (данное решение принадлежит промежутку   )

Тригонометрические уравнения.

Литература:

1. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: Учебник для СПО. – 5-е изд., пер. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018.
2. Математика: Учебное пособие/ под ред. М.М. Чернецова. – М.: РГУП, 2015.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения

Sin x = m

Cos x = m

tg x = m

ctg x = m,

где m - данное число

Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти множество всех значений аргумента (углов или дуг), при которых данная тригонометрическая функция принимает заданное значение m.

Заметим, решение данного уравнения показано на промежутке. Иными словами, это отбор корней тригонометрического уравнения из всех корней данного уравнения. Если в условии при решении тригонометрического уравнения указан промежуток, то необходимо произвести отбор корней уравнения. Отбор корней можно произвести любым способом: с помощью числовой окружности, с помощью графика, решением двойного неравенства и т.п.

Изменение ОДЗ при разложении на множители

Лекция. Тригонометрические функции, их свойства и графики. 

Тригонометрические функции

Показательные и логарифмические уравнения.

Показательная функция

Логарифмическая функция.

Методы решения показательных и логарифмических уравнений

Математика: учебник для ссузов/ Н.В. Богомолов, И.И. Самойленко

Нахождение пределов, вычисление интегралов; нахождение площади фигуры, ограниченной линиями; решение дифференциальных уравнений,

локальные степени графа и орграфа, множества, закон распределения.

Методические указания по выполнению заданий

Пример 1.1. Найти значения пределов:

Решение

Пример 1.2. Найти значение предела   

Решение

Пример 1.3. Найти значение предела 

Решение

Пример 2. Найти производные функций 1) y=2cos 2x,

2) 

3)  

Решение

Пример 3.1. Взять интегралы:

Решение

Пример 3.2. Взять интегралы 1)     2)  

Решение

Пример 4. Вычислить определенные интегралы:

Решение

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x= , х=0, y=4.

Решение.

Из чертежа (см.рис.) видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.         

Решая систему

получаем, что точка В пересечения прямой у=4 и кривой x=  имеет координаты (2; 4). Тогда

Пример 6.1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. В результате разделения переменных получаем: 

 Теперь в соответствии с формулой получим общее решение: 

В результате интегрирования получим:    , где С=2С₁.

Пример 6.2. Найти общее решение уравнения:  

Решение

Представим данное уравнение в следующем виде 

Из данной записи можно заметить, что правая часть есть однородная функция нулевой степени, значит уравнение является однородным. Сделаем подстановку

 с учетом того, что      тогда уравнение примет вид  

Отсюда получим   .     После интегрирования получим:  

следовательно  общее решение имеет вид      .

Пример 6.3. Найти общее решение линейного однородного уравнения: 

Решение

Разделив переменные, получим  

Интегрируя данное равенство, будем иметь  

откуда   .

Пример 7.1 Найти локальные степени графа  и орграфа.

Решение

Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа, которым инцидентна эта вершина. Полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число d⁺(v) (d ^-(v)) дуг орграфа D, исходящих из вершины v (заходящих в вершину v).

Пример 7.2. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Необходимо найти объединение и пересечение  множеств А и В.

Решение

Объединение множеств: A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.

Тогда пересечение множеств: A ∩ B = {0, 6}.

Пример 7.3. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти разности множеств: 1)A и B, 2) B и A.

Решение

Так как разностью множеств A и B называется множество A-В, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B, тогда: A-B = {2, 4, 6, 8}.

B-A = {11, 13, 17, 19}.

Пример 8.1.  В денежной лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша по 100 руб., пять выигрышей по 50 руб. и пятнадцать выигрышей по 20 руб. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.

Решение

Составим возможные значения X: 

х₁=100, х₂=50,х₃=20, x₄= 0.

Их вероятности соответственно равны: 

p₁=2/100=0,02;

 p₂=5/100=0,05;

p₃=15/100=0,15;

 p₄=100-(2+5+15)/100=0,78;

Закон распределения будет иметь вид 

Пример 8.2. Вероятность заражения куста земляники вирусом 0,2. Составьте закон распределения числа кустов, зараженных вирусом из четырех посаженных кустов.

Решение

Для составления закона воспользуемся формулой Бернулли:  

где m – число благоприятных исходов события;

n – число испытаний (всего);

p – вероятность события в каждом испытании;

q – вероятность противоположного события, т.е. q=1-p.

На основании полученных данных составим закон распределения дискретной случайной величины и представим его в таблице:

Пример 8.3. На основании закона распределения, составленного в примере 8.2 рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины M(X), D(X), s(X).

Решение

Черкалин Евгений Алексеевич, преподаватель экономических дисциплин ГБОУ КК КАСТ  Методические указания по выполнению контрольных работ для обучающихся заочной формы обучения по дисциплине ЕН.01 «Математика»