Теория вероятностей. Решение задач.
Лекция. Сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.
Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.
Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.
Достоверное событие – произойдет непременно.
Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.
Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.
Совместные события – одно событие не исключает другое.
Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.
Классическое определение вероятности.
А – событие.
Р(А) – вероятность события А
m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А)
n – число всех исходов (количество всех опытов)
тогда вероятность наступления события А:
Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что
- Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1
- Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0
- Достоверному событию вероятность Р(А) = 1
Подготовка к экзамену
Задача 1
Решение:
А – событие появления двух черных шаров.
Всего шаров 12+8=20,
тогда общее число возможных случаев n = число сочетаний из 20 по 2 ( по условию задачи вынимаем 2 шара)
Число случаев m – благоприятных исходов событию А – число сочетаний из 8 по 2 (черных шаров по условию задачи – 8, и вы можете сразу вытянуть 2 черных шара),
тогда вероятность появления 2 черных шаров будет равна
Ответ: 0,147
Задача 2
Решение:
А – событие появления двух бракованных деталей
Всего деталей 18,
тогда общее число возможных случаев n = число сочетаний из 18 по 5 ( по условию задачи наугад выбирают 5 деталей из 18)
Число случаев m – благоприятных исходов событию А
Считаем:
5 – взятых наугад деталей (по условию), значит из них должно быть 3 – качественных и 2 – бракованных (это в идеале).
4 – это количество бракованных деталей во всей партии (по условию задачи), тогда число выборки 2 бракованных деталей – число сочетаний из 4 по 2
14 – это количество качественных деталей во всей партии (18 - 4=14), тогда число выборки 3 качественных деталей – число сочетаний из 14 по 3
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, значит число исходов, благоприятных событию А будет равно
Окончательно, искомая вероятность равна
Ответ: 0,255
Теоремы о сложении вероятностей.
где А и В – это события.
Р(А) – вероятность события А
Р(В) – вероятность события В
Р(АВ) – вероятность их совместного появления.
- ненаступление события А (событие, противоположное событию А)
Теоремы умножения вероятностей
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
где А и В – это события,
Р(А) – вероятность события А
Р(В) – вероятность события В
Р(АВ) – вероятность их совместного появления.
Глава 11 «Элементы теории вероятности и математической статистики», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.
Список использованных интернет-ресурсов: