Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
На прошлом уроке вы познакомились с понятием неопределённого интеграла.
Вспомним, что если функция 
имеет на промежутке , принадлежащем области определения первообразную 
, то множество функций вида 
называют неопределённым интегралом от функции 
и обозначают 
(читается «неопределённый интеграл эф от икс дэ икс»).
Рассмотрим функцию 
непрерывную на отрезке 
1.Разобьём данный отрезок на n равных частей.
2.Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке. Затем составим сумму из произведений 
Полученная сумма произведений называется интегральной суммой.
Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n=5
3.Вычислим предел 
Если данный предел существует, его называют определённым интегралом от 
по отрезку 
и обозначают: 
Числа a и b - верхним и нижним пределами интегрирования.
Данную формулу называют Формулой Ньютона-Лейбница
Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде:
Пример 1:
Вычислить интеграл 
Решение:
1. 
Подставим найденную первообразную в формулу Ньютона-Лейбница и выполним подстановку: сначала подставим b=3 в первообразную, затем а= - 1 и найдем их разность
2.По формуле Ньютона-Лейбница:
Ответ:
Рассмотрим свойства определенного интеграла.
Зная свойства определенного интеграла рассмотрим решение следующего примера.
Пример 2:
Вычислить определённый интеграл
Решение
1.Воспользуемся свойством интеграла 
и разобьём данный интеграл на сумму и разность интегралов: 
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, имеем:
2.Найдём первообразную полученной функции применяя табличные значения первообразной
3.Для простоты решения вычислим отдельно каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Подставим полученные значения интегралов в формулу:
Пример 3:
Вычислить определенные интегралы:
Задания для самостоятельного решения
Вычислите определенный интеграл:
Глава 10 «Интеграл и его применение», учебник БашмаковМ.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М.: ИЦ «Академия», 2017, - 256с.
Список использованных интернет-ресурсов: