Лекции

Математическая статистика. Основные определения, задачи

Понятие о задачах математической статистики

Математическая статистика – это наука, изучающая методы сбора и обработки статистической информации для получения научных и практических выводов.

Основным методом матстатистики является выборочный метод его суть состоит в исследовании представительной выборочной совокупности – для достоверной характеристики совокупности генеральной. Данный метод экономит временные, трудовые и материальные затраты, поскольку исследование всей совокупности зачастую затруднено или невозможно.

Рассмотрим несколько задач.

Свойства эмпирической функции распределения

Глава 11 «Элементы теории вероятности и математической статистики», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

Математическая статистика. Представление данных.

Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка,

среднее арифметическое, медиана.

Список использованных интернет-ресурсов:

Математический анализ (СПО). Последовательность. Предел последовательности.

Лекция. Понятие о пределе последовательности.

Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

На прошлом занятии мы начали изучать числовые последовательности. Познакомились со способами задания и свойствами числовых последовательностей. В учебниках числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 1. Числовую последовательность x₁, x₂, … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x_n_{+ 1} > x_{n ,}например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

Определение 2. Числовую последовательность x₁, x₂, … x_n , …, называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x_n_{+ 1} < x_{n ,}например, последовательность возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности заданная формулой

возрастающие последовательности убывающие последовательности монотонные последовательности является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ, n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность x₁, x₂, … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство x_n < M

Определение 5. Числовую последовательность x₁, x₂, … x_n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n², n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху.

Определение 6. Числовую последовательность x₁, x₂, … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности заданная формулой ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности является ограниченной последовательностью, поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство ограниченные снизу последовательности ограниченные сверху последовательности ограниченные последовательности неограниченные последовательности

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.

Определение 8. Число a называют пределом числовой последовательности a₁, a₂, … a_n , … если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число a является пределом числовой последовательности a₁, a₂, … a_n , … , записывают с помощью обозначения

предел числовой последовательности определение (читается как: «Предел a_n при n, стремящемся к бесконечности, равен a ».) То же самое соотношение можно записать следующим образом: a_n → a при предел числовой последовательности определение .

(читается как: «a_n стремится к a при n, стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁, a₂, … a_n , … найдется такое число a , что a_n → a при предел числовой последовательности определение , то эта последовательность ограничена.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

Знаменитая задача древности состоит в том, догонит ли когда-нибудь Ахиллес идущую впереди черепаху. Несмотря на то, что Ахиллес идет в 10 раз быстрее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет вперед его ровно на одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту одну десятую, черепаха пройдет одну сотую, и так дол бесконечности.

Давайте разберем эту задачу:

Ахиллес пробегает отрезки, равные от начального расстояния. Сложив бесконечно убывающую прогрессию

, мы видим какой путь пробегает Ахиллес до встречи с черепахой.

Однако в этом решении не все так просто. Это решение основано на некотором бесконечном процессе. Для того, чтобы обосновать рассуждения, связанные с бесконечными процессами, была создана теория пределов. Такие математические понятия, как сумма бесконечного ряда, производная, интеграл, непрерывность могут быть определены с помощью понятия предела, что позволяет строго доказать и применять свойства этих понятий.

Определение. Последовательность с определенным первым элементом и рекуррентным соотношением

где q – постоянное число (q ≠ 1), называется геометрической прогрессией.

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Рекуррентное соотношение, определяющее геометрическую прогрессию, словами формулируется так: Всякий член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число q.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию

Вычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

…

Получилась последовательность , , …

Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться.

Если последовательность сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой n членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии).

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме первых n членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.

Таким образом, одним из наиболее простых предельных переходов является вычисление суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Он основан на рассмотрении частичных сумм

Главным является утверждение о том, что «предел последовательности при , равен нулю».

Определение. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если ее знаменатель q по модулю меньше 1:

Такое название возникло потому, что при общий член прогрессии становится сколь угодно малым, «бесконечно убывает»

Если знаменатель q геометрической прогрессии an удовлетворяет неравенству |q|<1, то сумма прогрессии S существует и вычисляется по формуле

Понятие о непрерывности функции.

Список использованных интернет-ресурсов:

Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

Рассмотрим несколько приемов (методов), позволяющих вычислить различные интегралы.

!!! Если Вы сомневаетесь в правильности нахождения интеграла – возьмите от полученной первообразной производную, Вы должны получить подынтегральную функцию!!!

!!! Заменили подынтегральное выражение на другое с новой переменной, значит и dx тоже заменяется на dt в подстановке:

Заменили подынтегральную функцию на t
Продифференцировали новую функцию по переменной t, чтобы заменить dx на dt
Все полученные замены подставили в подынтегральное выражение.

Глава 10 «Интеграл и его применение», учебник БашмаковМ.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М.: ИЦ «Академия», 2017, - 256с.

Список использованных интернет-ресурсов:

Неопределенный интеграл. Понятие неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

1. Понятие неопределенного интеграла.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

2. Непосредственное интегрирование.

Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

На прошлом уроке вы познакомились с понятием неопределённого интеграла.

Вспомним, что если функция имеет на промежутке , принадлежащем области определения первообразную , то множество функций вида называют неопределённым интегралом от функции и обозначают (читается «неопределённый интеграл эф от икс дэ икс»).

Рассмотрим функцию непрерывную на отрезке

1.Разобьём данный отрезок на n равных частей.

2.Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке. Затем составим сумму из произведений

Полученная сумма произведений называется интегральной суммой.

Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n=5

3.Вычислим предел

Если данный предел существует, его называют определённым интегралом от по отрезку и обозначают:

Числа a и b - верхним и нижним пределами интегрирования.

Данную формулу называют Формулой Ньютона-Лейбница

Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде:

Пример 1:

Вычислить интеграл

Решение:

Подставим найденную первообразную в формулу Ньютона-Лейбница и выполним подстановку: сначала подставим b=3 в первообразную, затем а= - 1 и найдем их разность

2.По формуле Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

Зная свойства определенного интеграла рассмотрим решение следующего примера.

Пример 2:

Вычислить определённый интеграл

Решение

1.Воспользуемся свойством интеграла и разобьём данный интеграл на сумму и разность интегралов:

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, имеем:

2.Найдём первообразную полученной функции применяя табличные значения первообразной

3.Для простоты решения вычислим отдельно каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Подставим полученные значения интегралов в формулу:

Пример 3:

Вычислить определенные интегралы:

Задания для самостоятельного решения

Вычислите определенный интеграл:

Список использованных интернет-ресурсов:

Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла.

Примеры применения интеграла в физике и геометрии

Обратите свое внимание на то, что в формуле подынтегральная функция всегда пишется через латинскую букву f. В данном случае рассматривается формула скорости. Необходимо найти путь, т.е. первообразную и вычислить значение определенного интеграла, где пределами интегрирования будут значения промежутка времени от до

Рассмотрим следующую задачу

f(t) = v(t)

Зная уравнение скорости, мы находим расстояние, пройденное за определенный промежуток времени, используя определенный интеграл.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Применение интеграла в геометрии

Как применяется математический анализ для вычисления площади фигуры, например, треугольника, параллелограмм, трапеции? Используя определенный интеграл можно вывести формулы общеизвестных площадей данных фигур.

Площадь трапеции:

а – основание, b – основание, h – высота.

Рассмотрим интегральные формулы объема.

Глава 10 «Интеграл и его применение», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

Определенный интеграл. Физические приложения определенного интеграла.

Применения интеграла в физике и геометрии

Рассмотрим несколько прикладных задач.

Вычисление работы силы.

Вычисление работы, производимой при поднятии груза

Вычисление силы давления жидкости

Глава 10 «Интеграл и его применение», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции

Рассмотрим несколько примеров.

(* от "верхней кривой" вычитаем "нижнюю кривую")

Разберем еще один пример.

В подынтегральном выражении записано: функция «выше» вычесть функцию «ниже»

Глава 10 «Интеграл и его применение», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М.: ИЦ «Академия», 2017, - 256с.

Список использованных интернет-ресурсов:

Стереометрия. Лекция. Многогранники. Призма. Теорема Эйлера.

Лекция. Многогранники. Теорема Эйлера. Призма

Многогранники и их основные свойства.

Рассмотрим все элементы многогранника на примере куба.

Рассмотрим пример выпуклого и невыпуклого многогранника. Многогранник выпуклый, если его можно полностью расположить по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из его граней, иначе многогранник невыпуклый.

Видеоурок по теме «Многогранники» https://infourok.ru/videouroki/1433

Теорема Эйлера

Рассмотрим данную таблицу и найдем некоторую закономерность между элементами выпуклого многогранника.

Закономерность заключается в следующем:

Итак, данная формула В + Г – Р = 2, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Теорема Эйлера В + Г – Р = 2, где

В – количество вершин

Г – количество граней

Р – количество ребер.

Краткая биография Леонарда Эйлера, его вклад в науку представлен в презентации Леонард Эйлер

Призма

Призма, видеоурок https://infourok.ru/videouroki/1434

Глава 8 «Многогранники и круглые тела», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

В случае отсутствия печатного издания, Вы можете обратиться к Электронно-библиотечной системе «Академия»

Список использованных интернет-ресурсов:

→