Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ


Урок 3. Квадратные (квадратичные) неравенства

Тэги: неравенство , интервал , квадратное неравенство

УРОК 3

КВАДРАТНЫЕ (КВАДРАТИЧНЫЕ) НЕРАВЕНСТВА

Квадратным (квадратичным) неравенством называют неравенство вида

ax2 + bx + c  v  0, так как функция f(x) = ax2 + bx + c  квадратная или квадратичная.

Один из способов решения квадратных неравенств с помощью графика

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

  1. Определяют направление ветвей параболы: при a>0 – вверх, при a<0 – вниз;
  2. Находят дискриминант D = b2 – 4ac квадратного трехчлена

ax2 + bx + c и определяют, имеет ли трехчлен корни (D≥0 – имеет корни, D<0 – не имеет корней);

  1. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси абсцисс. Построить эскиз параболы с учетом направления ветвей.

Если трехчлен не имеет корней, построить эскиз параболы, расположенной в верхней полуплоскости при a>0 и в нижней полуплоскости при a<0, 

с учетом направления ветвей;

  1. Находят на оси х промежутки, для которых выполнено данное неравенство.

Решить неравенство:

 

Рассмотрим функцию 

  1. а = 6 > 0 – ветви параболы направлены вверх
  2. D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4*6*(-1) = 25 > 0 – имеет 2 корня

 

  

 

  1. Эскиз параболы  

 

  1. Функция      принимает неположительные значения на промежутке     (часть графика расположена под осью ОХ), промежуток   является решением данного неравенства.

Решить неравенство

  

Рассмотрим функцию    

  1.      – ветви параболы направлены вниз
  2. Найдем корни уравнения   умножим обе части уравнения на 3, получим    , отсюда

х = 3 – единственный корень. Парабола касается оси абсцисс в точке х = 3

  1. Эскиз параболы

 

 

  1. Функция     принимает неотрицательное значение только в одной точке х = 3, поэтому данное неравенство имеет единственное решение х = 3.

Решить неравенство

    

Рассмотрим функцию  

Раскроем знак модуля:

        

 

При  , ветви параболы направлены вверх, х1 = -1, х2 = 3

При  , участок параболы АВ отображаем зеркально вниз и получаем график функции

 

Неравенство   выполняется для отдельной точки х = -1 и в промежутке  

Решение неравенства   

Обратите внимание на форму записи ответа. Ответ принято записывать в виде числовых промежутков в порядке возрастания.