Решение простейших тригонометрических уравнений Sin x = m,  |m| ≤ 1

    (если | m | > 1, то уравнение не имеет решений)

Множество корней уравнения можно записать одной формулой

(1)

При решении тригонометрических уравнений

Sin x = m   необходимо учитывать, что главный угол множества решений будет находиться в промежутке

- π/2 ≤ arcSin m ≤ π/2, остальное множество решений находится путем прибавления периода синуса к найденному значению главного угла, см. формулу (1)

Также полезно помнить решения частных случаев

Примеры

1.         , применяем формулу (1)

Ответ: 

Ответ:

 , разделим левую и правую  часть на 2

Ответ:

 , умножим левую и правую  часть на 3

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

            и умножим обе части уравнения на -1

Это лучше сделать, чтобы коэффициент при x стал положительным

  умножим на 2 левую и правую  части

Ответ:  

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Ответ:

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Так как   , то запишем ответ в виде

Применяем формулу (1)

 ,

умножаем левую и правую  часть уравнения на 3

Обратите внимание, что  умножается угол    , а не значение функции ( )

Делим левую и правую  часть на 2

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

 , умножим обе части уравнения на ( -1)

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Запишем

     и  далее       (так как функция Sin x нечетная)

Умножим на (-1) левую и правую части

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Ответ :   

Перенесем        в правую часть уравнения с противоположным знаком

Разделим левую и правую часть на   

Решаем аналогично уравнения 10

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Так как функция нечетная, то

Умножаем на (-1) обе части уравнения

и записываем решение (уравнение Sin y = 0 – частный случай, решение данного уравнения ), поэтому

Ответ: 

Перепишем

Уравнение вида Sin y = - 1 также частный случай

Решением данного уравнения является    

Поэтому

Далее

Ответ:

Извлечем квадратный корень и получим совокупность уравнений:

совокупность уравнений, это не система уравнений. Здесь решение каждого уравнения являются решениями исходного (не надо искать общее решение)

Можно записать решение уравнения следующим образом:

Ответ:    

Раскрывая знак модуля получим

Применяя формулу (1) запишем решение

   или

Ответ:  

1. В цилиндре осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16π кв. дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Решение:

2. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, тогда площадь основания цилиндра может быть равна:

Решение:

3. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, тогда площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

Решение:

Тест можно пройти по ссылке, оценка выставляется автоматически по результатам теста

https://math4everyone.info/tests/tela-i-poverhnosti-vrascheniya-tsilindr/geometriya-10-11-klass/

Факториал. Перестановки. Решение комбинаторных уравнений, содержащих факториал и перестановки.

Задача. Вы пригласили гостей, стулья расставлены около праздничного стола. Сколькими способами можно усадить 6 человек на 6 стульях за столом?

Решение:

Первый человек может сесть на любой из 6 стульев – 6 способов

Второй человек может сесть на любой из оставшихся 5 стульев – 5 способов

Третий – на любой из оставшихся 4 стульев – 4 способа

Для четвертого осталось на выбор только 3 стула – 3 способа

Пятый – выбирает из двух стульев – 2 способа

Шестому остается только один стул – 1 способ

Посчитаем количество способов – 6*5*4*3*2*1 = 720 способов.

В результате мы получили произведение шести множителей, это и есть общее количество всех способов усадить 6 человек на 6 стульях.

Такое произведение подряд идущих натуральных чисел называется n – факториал и обозначается n!

Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называется «эн – факториал» (в переводе с английского обозначает состоящий из n множителей). Обозначают n! = n*(n – 1)*(n – 2)* … *3*2*1.

Таблица первых десяти значений n!

Вернемся к задаче, для решения достаточно было «упорядочить» гостей за праздничным столом, усадив на уже готовые места.

Такое упорядочение называется перестановкой.

Определение: Перестановками из n элементов называют различные упорядочивания данного количества конечного множества, состоящего из n элементов.

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений с использованием n!

Практические занятия

1. Вычислите:

2. Упростить выражение:

Здесь самое большое число (m+4), а самое маленькое (m+1) – подставьте вместо m любое натуральное число, например 1, чтобы проверить себя.

В данном выражении самое большое число (n – 1) , а самое маленькое

(n – 3), т.к под знаком факториала мы не можем поставить отрицательное число, то для проверки вместо n надо подставить натуральное число больше 3, например, 4 .

3. Решить уравнения:

Распишем факториал в уравнении, чтобы можно было упростить его левую часть. Затем, решаем уравнение относительно переменной n.

При решении уравнения обязательно прописываем ОДЗ и проверяем полученные корни уравнения по условиям ОДЗ.

Ответ: n=3.

Определяем ОДЗ для корней уравнения. n≥5 т.к. в исходном уравнении P_n-5.

Расписываем перестановки по формуле P_n=n! и подставляем в уравнение. Обратите внимание, последний множитель со знаком факториала.

Сокращаем и решаем уравнение, корни проверяем по ОДЗ.

В левой и правой части уравнения есть одинаковые множители, перенесем все в левую часть и приравняем к нулю.

Одинаковые множители  (n-2)(n-3) вынесем за скобку, получим произведение, равное нулю.

Запишем систему и решим первое уравнение системы

Корни первого уравнения системы не подходят по ОДЗ, решаем второе уравнение.

Заметим, (n² + 4) при любом значении n неравно нулю.

Проверка

(0!=1, см. выше Примечания)

Ответ: n = 5

     4. Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.

Решение:

Эта задача на перестановки цифр в записи числа. Дано 4 числа, надо составить четырехзначные числа без повторов цифр.

Р₄=4! = 4*3*2*1 =24

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, поэтому исключим такие перестановки: 0 на первом месте, а остальные перестановки из трех оставшихся цифр

Р₃=3! = 3*2*1 = 6

Значит, количество таких четырехзначных чисел равно

4! – 3! = 24 – 6 =18

Ответ: 18.

  5. Из цифр 1, 3, 4, 6, 7 составьте множество всех возможных пятизначных чисел без повторяющихся цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7

Цифра 7 стоит на первом месте, значит переставлять будем оставшиеся 4 цифры – Р₄ = 4! = 24

б) не начинаются с цифры 1

Всего чисел (без повторений цифр) Р₅ = 5! = 120

Исключим те, у которых цифра 1 на первом месте Р₄ = 4! = 24

Тогда искомых пятизначных чисел 5! – 4! = 120 – 24 = 96

в) начинаются с 34

Цифры 3 и 4 стоят в числе на своем месте, значит остается перестановка трех неповторяющихся цифр Р₃ = 3! = 6

г) не начинается с 673

Всего пятизначных чисел из цифр 1, 3, 4, 6 и 7   Р₅ = 5! = 120.

Тогда чисел, которые начинаются с 673 будет 2! = 2 (осталось переставить только 2 цифры), значит ответ: 120 – 2 = 118

д) четные

Из чисел 1, 3, 4, 6 и 7 четные два числа 4 и 6

Пусть цифра 4 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Всего четных пятизначных чисел без повторений 24 + 24 = 48

  6.  Вычислите:

а)                              

б)    

в)     

Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину А(3;-1), а также уравнение биссектрисы х-4у+10=0 и медианы 6х+10у-59=0, проведенных из различных вершин.

Найдем координаты точки С

Т.к. BD – медиана, то координаты точки D можно найти как координаты середины отрезка:

Подставим полученные точки в уравнение медианы 6х+10у-59=0

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Т.к. АС∩CL в точке С, найдем координаты точки С из решения системы

Точка имеет координаты С(10;5)

Составим уравнение прямой АС, проходящей через точку А(3;-1) и точку С(10;5) по формуле

Сторона АС: 6х-7у-25=0

Составим уравнение прямой ВС, наклоненной к прямой АС под углом 2γ

Т.к. CL – биссектриса угла С (угол 2γ), то найдем tg γ при пересекающихся прямых AC и CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

По формуле тангенса двойного аргумента (тригонометрия)

  - тангенс угла между прямыми АС и ВС

Найдем k прямой ВС из равенства:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Составим уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны ВС: 2х+9у-65=0

Т.к. ВС∩BD в точке B, найдем координаты точки B из решения системы:

Зная координаты точки В, напишем уравнение стороны АВ:

18х+13у-41=0 уравнение стороны АВ

(Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник)

 - сочетания

При решении комбинаторных  уравнений надо помнить, что полученное значение - только натуральное число

Применяйте удобную формулу, чтобы максимально сократить уравнение

Распишите соединения отдельно, сократите и подставьте в уравнение

Примеры комбинаторных уравнений

ОДЗ х>=4 т.к. (х-4) >= 0

Распишем каждое сочетание и подставим в уравнение

Запишем уравнение и ОДЗ x>4:

Сгруппируем:

Проверка:

Комбинаторные неравенства

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений и неравенств с использованием n!

Решить неравенство:

ОДЗ : (5х-2) = 0

          (5х-2) Î N

Т.к  в знаменателе стоит факториал, то выражение в скобках под знаком факториала должно быть натуральным числом и надо понимать, что 0! = 1

Выберем значения х из данного промежутка, которые удовлетворяют условиям ОДЗ:

х Î{2/5; 3/5; 4/5; 1; 6/5; 7/5; 8/5; 9/5}

Range of possible values: x € N, x>=4  because (х-4)>=0

Substitute into the equation and reduce:

Check results:

ОДЗ! x € N, x>=4, т.к. (х-4)>=0

Подставим в уравнение и сократим

Проверка: