1. В цилиндре осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16π кв. дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Решение:

2. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, тогда площадь основания цилиндра может быть равна:

Решение:

3. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, тогда площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

Решение:

Тест можно пройти по ссылке, оценка выставляется автоматически по результатам теста

https://math4everyone.info/tests/tela-i-poverhnosti-vrascheniya-tsilindr/geometriya-10-11-klass/

Факториал. Перестановки. Решение комбинаторных уравнений, содержащих факториал и перестановки.

Задача. Вы пригласили гостей, стулья расставлены около праздничного стола. Сколькими способами можно усадить 6 человек на 6 стульях за столом?

Решение:

Первый человек может сесть на любой из 6 стульев – 6 способов

Второй человек может сесть на любой из оставшихся 5 стульев – 5 способов

Третий – на любой из оставшихся 4 стульев – 4 способа

Для четвертого осталось на выбор только 3 стула – 3 способа

Пятый – выбирает из двух стульев – 2 способа

Шестому остается только один стул – 1 способ

Посчитаем количество способов – 6*5*4*3*2*1 = 720 способов.

В результате мы получили произведение шести множителей, это и есть общее количество всех способов усадить 6 человек на 6 стульях.

Такое произведение подряд идущих натуральных чисел называется n – факториал и обозначается n!

Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называется «эн – факториал» (в переводе с английского обозначает состоящий из n множителей). Обозначают n! = n*(n – 1)*(n – 2)* … *3*2*1.

Таблица первых десяти значений n!

Вернемся к задаче, для решения достаточно было «упорядочить» гостей за праздничным столом, усадив на уже готовые места.

Такое упорядочение называется перестановкой.

Определение: Перестановками из n элементов называют различные упорядочивания данного количества конечного множества, состоящего из n элементов.

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений с использованием n!

Практические занятия

1. Вычислите:

2. Упростить выражение:

Здесь самое большое число (m+4), а самое маленькое (m+1) – подставьте вместо m любое натуральное число, например 1, чтобы проверить себя.

В данном выражении самое большое число (n – 1) , а самое маленькое

(n – 3), т.к под знаком факториала мы не можем поставить отрицательное число, то для проверки вместо n надо подставить натуральное число больше 3, например, 4 .

3. Решить уравнения:

Распишем факториал в уравнении, чтобы можно было упростить его левую часть. Затем, решаем уравнение относительно переменной n.

При решении уравнения обязательно прописываем ОДЗ и проверяем полученные корни уравнения по условиям ОДЗ.

Ответ: n=3.

Определяем ОДЗ для корней уравнения. n≥5 т.к. в исходном уравнении P_n-5.

Расписываем перестановки по формуле P_n=n! и подставляем в уравнение. Обратите внимание, последний множитель со знаком факториала.

Сокращаем и решаем уравнение, корни проверяем по ОДЗ.

В левой и правой части уравнения есть одинаковые множители, перенесем все в левую часть и приравняем к нулю.

Одинаковые множители  (n-2)(n-3) вынесем за скобку, получим произведение, равное нулю.

Запишем систему и решим первое уравнение системы

Корни первого уравнения системы не подходят по ОДЗ, решаем второе уравнение.

Заметим, (n² + 4) при любом значении n неравно нулю.

Проверка

(0!=1, см. выше Примечания)

Ответ: n = 5

     4. Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.

Решение:

Эта задача на перестановки цифр в записи числа. Дано 4 числа, надо составить четырехзначные числа без повторов цифр.

Р₄=4! = 4*3*2*1 =24

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, поэтому исключим такие перестановки: 0 на первом месте, а остальные перестановки из трех оставшихся цифр

Р₃=3! = 3*2*1 = 6

Значит, количество таких четырехзначных чисел равно

4! – 3! = 24 – 6 =18

Ответ: 18.

  5. Из цифр 1, 3, 4, 6, 7 составьте множество всех возможных пятизначных чисел без повторяющихся цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7

Цифра 7 стоит на первом месте, значит переставлять будем оставшиеся 4 цифры – Р₄ = 4! = 24

б) не начинаются с цифры 1

Всего чисел (без повторений цифр) Р₅ = 5! = 120

Исключим те, у которых цифра 1 на первом месте Р₄ = 4! = 24

Тогда искомых пятизначных чисел 5! – 4! = 120 – 24 = 96

в) начинаются с 34

Цифры 3 и 4 стоят в числе на своем месте, значит остается перестановка трех неповторяющихся цифр Р₃ = 3! = 6

г) не начинается с 673

Всего пятизначных чисел из цифр 1, 3, 4, 6 и 7   Р₅ = 5! = 120.

Тогда чисел, которые начинаются с 673 будет 2! = 2 (осталось переставить только 2 цифры), значит ответ: 120 – 2 = 118

д) четные

Из чисел 1, 3, 4, 6 и 7 четные два числа 4 и 6

Пусть цифра 4 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Всего четных пятизначных чисел без повторений 24 + 24 = 48

  6.  Вычислите:

а)                              

б)    

в)     

Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину А(3;-1), а также уравнение биссектрисы х-4у+10=0 и медианы 6х+10у-59=0, проведенных из различных вершин.

Найдем координаты точки С

Т.к. BD – медиана, то координаты точки D можно найти как координаты середины отрезка:

Подставим полученные точки в уравнение медианы 6х+10у-59=0

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Т.к. АС∩CL в точке С, найдем координаты точки С из решения системы

Точка имеет координаты С(10;5)

Составим уравнение прямой АС, проходящей через точку А(3;-1) и точку С(10;5) по формуле

Сторона АС: 6х-7у-25=0

Составим уравнение прямой ВС, наклоненной к прямой АС под углом 2γ

Т.к. CL – биссектриса угла С (угол 2γ), то найдем tg γ при пересекающихся прямых AC и CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

По формуле тангенса двойного аргумента (тригонометрия)

  - тангенс угла между прямыми АС и ВС

Найдем k прямой ВС из равенства:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Составим уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны ВС: 2х+9у-65=0

Т.к. ВС∩BD в точке B, найдем координаты точки B из решения системы:

Зная координаты точки В, напишем уравнение стороны АВ:

18х+13у-41=0 уравнение стороны АВ

(Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник)

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое опредление вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А

n – число всех исходов (количество всех опытов) тогда вероятность наступления события А:

P(A)= m/ n Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1) Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1 0≤Р(А)≤1

2) Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0

3) Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Задачи на классическое определение вероятности

Задача 1

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая.

Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

В чемпионате принимает участие 20 – 8 – 7 = 5 - спортсменок из Китая.

Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

P(A) = m/ n = 5 /20 = 0,25

Ответ : 0,25

Условие  "из" и "на" 

Задача 2

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу,

1000 − 5 = 995 не подтекают.

Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Р (А) = 995/ 1000 = 0,995

Ответ : 0,995

Задача 3

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

Всего сумок 100 + 8 = 108 (здесь можно сказать так: на 100 качественных сумок приходится (+) 8 бракованных).

Значит, вероятность того, что купленная сумка

окажется качественной, равна Р (А) = 100/ 108 = 0,925925 ≈ 0,93

Ответ : 0,93

Задача 4

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов.

Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна

12 /75 = 0,16

Ответ : 0,16

Задача 5

65 спортсменов приехали на парные соревнования, из них 17 российских спортсменов. Петров хочет выступать только в паре с соотечественником. Определите вероятность этого события.

Решение.

В задаче сказано о парах спортсменов, значит 1 место в паре уже выбрано - Петров,

тогда на второе место в паре претендуют 17- 1 = 16 российских спортсменов, а всего спортсменов 65-1=64

Значит, вероятность события Р(А)= 16/64 = 0,25

Ответ: 0,25

Задача 6

Завод производит 34% всех железнодорожных вагонов в стране. Какова вероятность того, что случайно выбранный железнодорожный вагон произведен на этом заводе?

Решение:

34% ----> 34/100 = 0,34

Ответ: 0,34

Задачи на теоремы о вероятностях события

Несовместимые события - не могут наступить одновременно, наступление одного из них исключает наступление другого.

Для нахождения вероятности того, что наступит или одно событие, или другое, нужно сложить вероятности этих событий (если они несовместимы)

Задача 1

Вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач из предложенных, равна 0,68. Вероятность того, что больше шестнадцати задач, равна 0,59. Найдите вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач.

Решение:

Пусть Р(А) - "вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач" =?

Р(В) - "вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач" =0,68

Р(С) - "вероятность того, что больше 16 задач" = 0,59

"вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач"

Р(В) = Р(А) + Р(С) тогда

Р(А)=Р(В)-Р(С) = 0,68 - 0,59 = 0,09

Ответ: 0,09

Задача 2

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.

Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть Р(A) - «вероятность, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет» = ?

Р(В) - «вероятность, что чайник прослужит больше года» = 0,97

Р(С) - «вероятность, что чайник прослужит больше двух лет» = 0,89

тогда Р(В) =  Р(А) + Р(С) = «чайник прослужит больше года».

получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08

Ответ: 0,08

Независимые события - вероятность любого из двух событий не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Для нахождения вероятности того, что одновременно наступят и одно событие и другое, нужно перемножить вероятности этих событий (если события независимы)

Задача 3

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7.

Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела.

Вероятность события A равна P(A)=0,7.

Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся (вероятность того, что стрелок промахнулся равна 1-0,7=0,3)

а, стреляя второй раз, попал.

Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21.

События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ : 0,91

По ссылке Вы можете пройти тест "Задачи по теории вероятностей".

В тест включены задачи из сборников ОГЭ и ЕГЭ по математике обязательного уровня. Оценка выставляется сразу

https://onlinetestpad.com/ohr7s6amnwebc

 - сочетания

При решении комбинаторных  уравнений надо помнить, что полученное значение - только натуральное число

Применяйте удобную формулу, чтобы максимально сократить уравнение

Распишите соединения отдельно, сократите и подставьте в уравнение

Примеры комбинаторных уравнений

ОДЗ х>=4 т.к. (х-4) >= 0

Распишем каждое сочетание и подставим в уравнение

Запишем уравнение и ОДЗ x>4:

Сгруппируем:

Проверка:

Комбинаторные неравенства

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений и неравенств с использованием n!

Решить неравенство:

ОДЗ : (5х-2) = 0

          (5х-2) Î N

Т.к  в знаменателе стоит факториал, то выражение в скобках под знаком факториала должно быть натуральным числом и надо понимать, что 0! = 1

Выберем значения х из данного промежутка, которые удовлетворяют условиям ОДЗ:

х Î{2/5; 3/5; 4/5; 1; 6/5; 7/5; 8/5; 9/5}

Range of possible values: x € N, x>=4  because (х-4)>=0

Substitute into the equation and reduce:

Check results:

ОДЗ! x € N, x>=4, т.к. (х-4)>=0

Подставим в уравнение и сократим

Проверка: