Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину А(3;-1), а также уравнение биссектрисы х-4у+10=0 и медианы 6х+10у-59=0, проведенных из различных вершин.

Найдем координаты точки С

Т.к. BD – медиана, то координаты точки D можно найти как координаты середины отрезка:

Подставим полученные точки в уравнение медианы 6х+10у-59=0

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Т.к. АС∩CL в точке С, найдем координаты точки С из решения системы

Точка имеет координаты С(10;5)

Составим уравнение прямой АС, проходящей через точку А(3;-1) и точку С(10;5) по формуле

Сторона АС: 6х-7у-25=0

Составим уравнение прямой ВС, наклоненной к прямой АС под углом 2γ

Т.к. CL – биссектриса угла С (угол 2γ), то найдем tg γ при пересекающихся прямых AC и CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

По формуле тангенса двойного аргумента (тригонометрия)

  - тангенс угла между прямыми АС и ВС

Найдем k прямой ВС из равенства:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Составим уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны ВС: 2х+9у-65=0

Т.к. ВС∩BD в точке B, найдем координаты точки B из решения системы:

Зная координаты точки В, напишем уравнение стороны АВ:

18х+13у-41=0 уравнение стороны АВ

(Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник)

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое опредление вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А

n – число всех исходов (количество всех опытов) тогда вероятность наступления события А:

P(A)= m/ n Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1) Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1 0≤Р(А)≤1

2) Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0

3) Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Задачи на классическое определение вероятности

Задача 1

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая.

Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

В чемпионате принимает участие 20 – 8 – 7 = 5 - спортсменок из Китая.

Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

P(A) = m/ n = 5 /20 = 0,25

Ответ : 0,25

Условие  "из" и "на" 

Задача 2

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу,

1000 − 5 = 995 не подтекают.

Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Р (А) = 995/ 1000 = 0,995

Ответ : 0,995

Задача 3

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

Всего сумок 100 + 8 = 108 (здесь можно сказать так: на 100 качественных сумок приходится (+) 8 бракованных).

Значит, вероятность того, что купленная сумка

окажется качественной, равна Р (А) = 100/ 108 = 0,925925 ≈ 0,93

Ответ : 0,93

Задача 4

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов.

Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна

12 /75 = 0,16

Ответ : 0,16

Задача 5

65 спортсменов приехали на парные соревнования, из них 17 российских спортсменов. Петров хочет выступать только в паре с соотечественником. Определите вероятность этого события.

Решение.

В задаче сказано о парах спортсменов, значит 1 место в паре уже выбрано - Петров,

тогда на второе место в паре претендуют 17- 1 = 16 российских спортсменов, а всего спортсменов 65-1=64

Значит, вероятность события Р(А)= 16/64 = 0,25

Ответ: 0,25

Задача 6

Завод производит 34% всех железнодорожных вагонов в стране. Какова вероятность того, что случайно выбранный железнодорожный вагон произведен на этом заводе?

Решение:

34% ----> 34/100 = 0,34

Ответ: 0,34

Задачи на теоремы о вероятностях события

Несовместимые события - не могут наступить одновременно, наступление одного из них исключает наступление другого.

Для нахождения вероятности того, что наступит или одно событие, или другое, нужно сложить вероятности этих событий (если они несовместимы)

Задача 1

Вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач из предложенных, равна 0,68. Вероятность того, что больше шестнадцати задач, равна 0,59. Найдите вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач.

Решение:

Пусть Р(А) - "вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач" =?

Р(В) - "вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач" =0,68

Р(С) - "вероятность того, что больше 16 задач" = 0,59

"вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач"

Р(В) = Р(А) + Р(С) тогда

Р(А)=Р(В)-Р(С) = 0,68 - 0,59 = 0,09

Ответ: 0,09

Задача 2

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.

Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть Р(A) - «вероятность, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет» = ?

Р(В) - «вероятность, что чайник прослужит больше года» = 0,97

Р(С) - «вероятность, что чайник прослужит больше двух лет» = 0,89

тогда Р(В) =  Р(А) + Р(С) = «чайник прослужит больше года».

получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08

Ответ: 0,08

Независимые события - вероятность любого из двух событий не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Для нахождения вероятности того, что одновременно наступят и одно событие и другое, нужно перемножить вероятности этих событий (если события независимы)

Задача 3

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7.

Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела.

Вероятность события A равна P(A)=0,7.

Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся (вероятность того, что стрелок промахнулся равна 1-0,7=0,3)

а, стреляя второй раз, попал.

Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21.

События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ : 0,91

По ссылке Вы можете пройти тест "Задачи по теории вероятностей".

В тест включены задачи из сборников ОГЭ и ЕГЭ по математике обязательного уровня. Оценка выставляется сразу

https://onlinetestpad.com/ohr7s6amnwebc

 - сочетания

При решении комбинаторных  уравнений надо помнить, что полученное значение - только натуральное число

Применяйте удобную формулу, чтобы максимально сократить уравнение

Распишите соединения отдельно, сократите и подставьте в уравнение

Примеры комбинаторных уравнений

ОДЗ х>=4 т.к. (х-4) >= 0

Распишем каждое сочетание и подставим в уравнение

Запишем уравнение и ОДЗ x>4:

Сгруппируем:

Проверка:

Комбинаторные неравенства

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений и неравенств с использованием n!

Решить неравенство:

ОДЗ : (5х-2) = 0

          (5х-2) Î N

Т.к  в знаменателе стоит факториал, то выражение в скобках под знаком факториала должно быть натуральным числом и надо понимать, что 0! = 1

Выберем значения х из данного промежутка, которые удовлетворяют условиям ОДЗ:

х Î{2/5; 3/5; 4/5; 1; 6/5; 7/5; 8/5; 9/5}

Range of possible values: x € N, x>=4  because (х-4)>=0

Substitute into the equation and reduce:

Check results:

ОДЗ! x € N, x>=4, т.к. (х-4)>=0

Подставим в уравнение и сократим

Проверка:

Калькулятор для расчета тригонометрических функций в треугольнике https://math4everyone.info/practice-tools/trigonometricheskie-funktsii-sin-cos-tg-ctg/