Комплексные числа

Числа вида z=a+bi, где  a и b – действительные числа, а  i – мнимая единица называются комплексными

i – мнимая единица

i² = -1,

i

Рассмотрим степени числа i

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = - i

i⁴ = i² * i² = -1 * (-1) = 1

Данная последовательность степеней числа i повторяется

Используя закономерность, легко найти значение степени числа i

Задачи на нахождение значения степени i

Найти i²⁸

Найти i³³

Найти i¹³⁵

Найти i⁶⁶

Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)

bi – мнимая часть комплексного числа (Im z)

b – коэффициент при мнимой части

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа

Противоположные комплексные числа: z=a + bi     и    –z= – a – bi

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

z₁=2 + 3i

z₂=5 – 7i

1. Сложение

сложить действительные и мнимые части чисел

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i

2. Вычитание

вычесть действительные и мнимые части

z₁ –  z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = - 3 + 10i

3. Умножение

по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)

z₁ * z₂ = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i

 (– 21i²) = - 21 *(-1) т.к. i² = -1

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью

4. Деление

Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,

сопряженное делителю, например:

При решении учитываем i² = -1

Следующий пример:

Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный

На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни

Пример:

Решить уравнение на множестве комплексных чисел

Таким образом, уравнение        на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:  

Решить уравнение:

Задача

Концы отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 см и 44 см. Вычислите проекцию этого отрезка на плоскость.

Дано: АВ=55 см, АА₁=30см, ВВ₁=44см

Найти: А₁В₁

Решение:

Ответ: А₁В₁=48 см

Иррациональные неравенства

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/

Решить уравнения:

1.             ОДЗ!!! x € N, x>=3 т.к. (х-3)>=0

  - умножим левую и правую часть на 6 (2*3=6)

   - не входит в ОДЗ

Проверка

2.            ОДЗ!!! x € N, x>=4  т.к. (х-4)>=0

Запишем

и подставим в уравнение:

Проверка:

Уравнения с размещением

Например:      

Здесь – произведение стольких чисел, сколько указано вверху – в примере 4 числа, и начинаем с самого большого числа – в примере 21, и каждый следующий множитель уменьшаем на 1

Уравнения:

Решение:

6*5*4 = 30*х

30*4 = 30*х, значит х=4  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>=0

Проверка: 6*5*4 = 30*4   120 = 120 (и) 

Ответ: х=4

Решение:

7*6*5 = 42*х

42*5 = 42*х, значит х=5  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>0

Проверка: 7*6*5* = 42*5   210 = 210 (и) 

Ответ: х=5

Уравнения с перестановками

P_n = n! = n(n-1)(n-2)(n-3)*…*3*2*1 – перестановки

Например: P₅ = 5*4*3*2*1 = 120

Уравнение:

P_x = P_x+2

Решение:

1. Распишем правую и левую части уравнения

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

2. Сократим одинаковые множители в левой и правой частях

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

3. Запишем полученное уравнение и решим (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые)

6 = (х+2)(х+1)

х² +3х – 4 =0

х₁= - 4 , х₂=1

 условие для корней комбинаторного уравнения х>=0, значит

х₁= - 4 – посторонний корень и корень уравнения

х=1

Проверка:

6*Р₁ = Р₁₊₂

6*Р₁ = Р₃

6*1 = 3*2*1

6=6 (и)

Ответ: х = 1

При нахождении предела функции часто возникает необходимость раскрытия неопределенностей. Здесь можно провести тождественные преобразования или применить так называемые замечательные пределы.

Второй замечательный предел:

Или

Примеры

При нахождении пределов с помощью второго замечательного предела, нужно провести преобразования выражения

таким образом, чтобы можно было применить формулу.

Task:

Find the equations of the sides of a triangle, given one its vertex A(3;-1), and also the equation of the bisector x-4y+10=0 and the median 6x+10y-59=0 drawn from different vertices.

Solution:

Let's find coordinates of point C.

Since BD is a median, coordinates of point D can be found as a coordinates of the middle of segment.

Let's substitute the obtained points into the equation of the median 6x+10y-59=0:

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Since AC∩CL at point C, we find the coordinates of point C from the solution of the system

Now we have point C(10;5).

Let's make the equation of the line AC passing through point A(3;-1) and point C(10;5) by the formula:

Side AC: 6х-7у-25=0

Let's make the equation of line BC, which is inclined to line AC at the angle 2γ.

Since CL is the bisector of angle C (angle 2γ), we find tg γ at intersecting lines AC and CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

By the formula for the tangent of a double argument (trigonometry):

 - tangent of the angle between lines AC and BC

Let us find k of the line BC from the equality:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Let's make an equation of the side BC:

Equation of the BC side: 2х+9у-65=0

Since BC∩BD at point B, we find the coordinates of point B from the solution of the system:

Knowing the coordinates of point B, write the equation of side AB:

18х+13у-41=0 - equation of side АВ

Основные методы решения систем линейных уравнений

1. Матричный способ

Матрица системы

Вектор переменных

Вектор правой части

Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то для нее существует единственная обратная матрица и система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), то обратная матрица не существует. В этом случае, система либо несовместима, либо имеет множество решений.
4. Метод удобен для решения нескольких систем, отличающихся только правой частью.

Запишем:

Найдем обратную матрицу:

●

●

Можно записать определитель так

Транспонируем матрицу А (строки записываем вместо столбцов, а столбцы вместо строк), получаем

Находим алгебраические дополнения

●

●

Окончательное решение:

Ответ:

2. Решение СЛУ методом Крамера.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных.
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), а хотя бы один из ∆ переменных отличен от 0, то система не имеет решений.
4. Если все ∆=0, то этом случае, система либо несовместима, либо имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм решения СЛУ:

3. Найдем ∆ для каждой переменной. Для этого в матрице системы столбец коэффициента искомой переменной меняем на значения вектора правой части

4. Находим отношения:

Ответ:

3. Решение СЛУ методом Гаусса

Метод Гаусса можно применять для любой размерности.

Теорема Кронекера-Копелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При этом возможна три варианта:

Для исследования СЛУ и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Решение СЛУ методом Гаусса проводят в 2 этапа:

Первый этап:

Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду (к ступенечатому виду)

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Перестановка строк
2. Умножение всех строки на ненулевое число
3. Замена элементов строки суммой с соответствующими элементами другой строки
4. Вычеркивание нулевой строки

Элементарные преобразования расширенной матрицы приводят систему к эквивалентной.

Второй этап:

Записываем эквивалентную систему и находим ее решения

Показательные неравенства.

Поясним, х – это степень, чтобы найти х, логарифмируем по основанию   , иными словами:

  , находим х,       

Подготовка к экзамену Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства    

            Решение:          

Основание показательной функции а=2 > 1, значит равносильным данному неравенству будет следующее неравенство:

Ответ :  2 числа : 1 и 2 .

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/

Решение простейших тригонометрических уравнений Sin x = m,  |m| ≤ 1

    (если | m | > 1, то уравнение не имеет решений)

Множество корней уравнения можно записать одной формулой

(1)

При решении тригонометрических уравнений

Sin x = m   необходимо учитывать, что главный угол множества решений будет находиться в промежутке

- π/2 ≤ arcSin m ≤ π/2, остальное множество решений находится путем прибавления периода синуса к найденному значению главного угла, см. формулу (1)

Также полезно помнить решения частных случаев

Примеры

1.         , применяем формулу (1)

Ответ: 

Ответ:

 , разделим левую и правую  часть на 2

Ответ:

 , умножим левую и правую  часть на 3

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

            и умножим обе части уравнения на -1

Это лучше сделать, чтобы коэффициент при x стал положительным

  умножим на 2 левую и правую  части

Ответ:  

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Ответ:

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Так как   , то запишем ответ в виде

Применяем формулу (1)

 ,

умножаем левую и правую  часть уравнения на 3

Обратите внимание, что  умножается угол    , а не значение функции ( )

Делим левую и правую  часть на 2

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

 , умножим обе части уравнения на ( -1)

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Запишем

     и  далее       (так как функция Sin x нечетная)

Умножим на (-1) левую и правую части

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Ответ :   

Перенесем        в правую часть уравнения с противоположным знаком

Разделим левую и правую часть на   

Решаем аналогично уравнения 10

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Так как функция нечетная, то

Умножаем на (-1) обе части уравнения

и записываем решение (уравнение Sin y = 0 – частный случай, решение данного уравнения ), поэтому

Ответ: 

Перепишем

Уравнение вида Sin y = - 1 также частный случай

Решением данного уравнения является    

Поэтому

Далее

Ответ:

Извлечем квадратный корень и получим совокупность уравнений:

совокупность уравнений, это не система уравнений. Здесь решение каждого уравнения являются решениями исходного (не надо искать общее решение)

Можно записать решение уравнения следующим образом:

Ответ:    

Раскрывая знак модуля получим

Применяя формулу (1) запишем решение

   или

Ответ: