Комплексные числа

Числа вида z=a+bi, где  a и b – действительные числа, а  i – мнимая единица называются комплексными

i – мнимая единица

i² = -1,

i

Рассмотрим степени числа i

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = - i

i⁴ = i² * i² = -1 * (-1) = 1

Данная последовательность степеней числа i повторяется

Используя закономерность, легко найти значение степени числа i

Задачи на нахождение значения степени i

Найти i²⁸

Найти i³³

Найти i¹³⁵

Найти i⁶⁶

Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)

bi – мнимая часть комплексного числа (Im z)

b – коэффициент при мнимой части

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа

Противоположные комплексные числа: z=a + bi     и    –z= – a – bi

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

z₁=2 + 3i

z₂=5 – 7i

1. Сложение

сложить действительные и мнимые части чисел

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i

2. Вычитание

вычесть действительные и мнимые части

z₁ –  z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = - 3 + 10i

3. Умножение

по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)

z₁ * z₂ = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i

 (– 21i²) = - 21 *(-1) т.к. i² = -1

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью

4. Деление

Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,

сопряженное делителю, например:

При решении учитываем i² = -1

Следующий пример:

Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный

На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни

Пример:

Решить уравнение на множестве комплексных чисел

Таким образом, уравнение        на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:  

Решить уравнение:

Задача

Концы отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 см и 44 см. Вычислите проекцию этого отрезка на плоскость.

Дано: АВ=55 см, АА₁=30см, ВВ₁=44см

Найти: А₁В₁

Решение:

Ответ: А₁В₁=48 см

Иррациональные неравенства

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/

Решить уравнения:

1.             ОДЗ!!! x € N, x>=3 т.к. (х-3)>=0

  - умножим левую и правую часть на 6 (2*3=6)

   - не входит в ОДЗ

Проверка

2.            ОДЗ!!! x € N, x>=4  т.к. (х-4)>=0

Запишем

и подставим в уравнение:

Проверка:

Уравнения с размещением

Например:      

Здесь – произведение стольких чисел, сколько указано вверху – в примере 4 числа, и начинаем с самого большого числа – в примере 21, и каждый следующий множитель уменьшаем на 1

Уравнения:

Решение:

6*5*4 = 30*х

30*4 = 30*х, значит х=4  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>=0

Проверка: 6*5*4 = 30*4   120 = 120 (и) 

Ответ: х=4

Решение:

7*6*5 = 42*х

42*5 = 42*х, значит х=5  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>0

Проверка: 7*6*5* = 42*5   210 = 210 (и) 

Ответ: х=5

Уравнения с перестановками

P_n = n! = n(n-1)(n-2)(n-3)*…*3*2*1 – перестановки

Например: P₅ = 5*4*3*2*1 = 120

Уравнение:

P_x = P_x+2

Решение:

1. Распишем правую и левую части уравнения

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

2. Сократим одинаковые множители в левой и правой частях

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

3. Запишем полученное уравнение и решим (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые)

6 = (х+2)(х+1)

х² +3х – 4 =0

х₁= - 4 , х₂=1

 условие для корней комбинаторного уравнения х>=0, значит

х₁= - 4 – посторонний корень и корень уравнения

х=1

Проверка:

6*Р₁ = Р₁₊₂

6*Р₁ = Р₃

6*1 = 3*2*1

6=6 (и)

Ответ: х = 1

При нахождении предела функции часто возникает необходимость раскрытия неопределенностей. Здесь можно провести тождественные преобразования или применить так называемые замечательные пределы.

Второй замечательный предел:

Или

Примеры

При нахождении пределов с помощью второго замечательного предела, нужно провести преобразования выражения

таким образом, чтобы можно было применить формулу.

Task:

Find the equations of the sides of a triangle, given one its vertex A(3;-1), and also the equation of the bisector x-4y+10=0 and the median 6x+10y-59=0 drawn from different vertices.

Solution:

Let's find coordinates of point C.

Since BD is a median, coordinates of point D can be found as a coordinates of the middle of segment.

Let's substitute the obtained points into the equation of the median 6x+10y-59=0:

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Since AC∩CL at point C, we find the coordinates of point C from the solution of the system

Now we have point C(10;5).

Let's make the equation of the line AC passing through point A(3;-1) and point C(10;5) by the formula:

Side AC: 6х-7у-25=0

Let's make the equation of line BC, which is inclined to line AC at the angle 2γ.

Since CL is the bisector of angle C (angle 2γ), we find tg γ at intersecting lines AC and CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

By the formula for the tangent of a double argument (trigonometry):

 - tangent of the angle between lines AC and BC

Let us find k of the line BC from the equality:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Let's make an equation of the side BC:

Equation of the BC side: 2х+9у-65=0

Since BC∩BD at point B, we find the coordinates of point B from the solution of the system:

Knowing the coordinates of point B, write the equation of side AB:

18х+13у-41=0 - equation of side АВ

Основные методы решения систем линейных уравнений

1. Матричный способ

Матрица системы

Вектор переменных

Вектор правой части

Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то для нее существует единственная обратная матрица и система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), то обратная матрица не существует. В этом случае, система либо несовместима, либо имеет множество решений.
4. Метод удобен для решения нескольких систем, отличающихся только правой частью.

Запишем:

Найдем обратную матрицу:

●

●

Можно записать определитель так

Транспонируем матрицу А (строки записываем вместо столбцов, а столбцы вместо строк), получаем

Находим алгебраические дополнения

●

●

Окончательное решение:

Ответ:

2. Решение СЛУ методом Крамера.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных.
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), а хотя бы один из ∆ переменных отличен от 0, то система не имеет решений.
4. Если все ∆=0, то этом случае, система либо несовместима, либо имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм решения СЛУ:

3. Найдем ∆ для каждой переменной. Для этого в матрице системы столбец коэффициента искомой переменной меняем на значения вектора правой части

4. Находим отношения:

Ответ:

3. Решение СЛУ методом Гаусса

Метод Гаусса можно применять для любой размерности.

Теорема Кронекера-Копелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При этом возможна три варианта:

Для исследования СЛУ и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Решение СЛУ методом Гаусса проводят в 2 этапа:

Первый этап:

Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду (к ступенечатому виду)

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Перестановка строк
2. Умножение всех строки на ненулевое число
3. Замена элементов строки суммой с соответствующими элементами другой строки
4. Вычеркивание нулевой строки

Элементарные преобразования расширенной матрицы приводят систему к эквивалентной.

Второй этап:

Записываем эквивалентную систему и находим ее решения

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое опредление вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А

n – число всех исходов (количество всех опытов) тогда вероятность наступления события А:

P(A)= m/ n Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1) Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1 0≤Р(А)≤1

2) Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0

3) Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Задачи на классическое определение вероятности

Задача 1

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая.

Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

В чемпионате принимает участие 20 – 8 – 7 = 5 - спортсменок из Китая.

Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

P(A) = m/ n = 5 /20 = 0,25

Ответ : 0,25

Условие  "из" и "на" 

Задача 2

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу,

1000 − 5 = 995 не подтекают.

Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Р (А) = 995/ 1000 = 0,995

Ответ : 0,995

Задача 3

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

Всего сумок 100 + 8 = 108 (здесь можно сказать так: на 100 качественных сумок приходится (+) 8 бракованных).

Значит, вероятность того, что купленная сумка

окажется качественной, равна Р (А) = 100/ 108 = 0,925925 ≈ 0,93

Ответ : 0,93

Задача 4

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов.

Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна

12 /75 = 0,16

Ответ : 0,16

Задача 5

65 спортсменов приехали на парные соревнования, из них 17 российских спортсменов. Петров хочет выступать только в паре с соотечественником. Определите вероятность этого события.

Решение.

В задаче сказано о парах спортсменов, значит 1 место в паре уже выбрано - Петров,

тогда на второе место в паре претендуют 17- 1 = 16 российских спортсменов, а всего спортсменов 65-1=64

Значит, вероятность события Р(А)= 16/64 = 0,25

Ответ: 0,25

Задача 6

Завод производит 34% всех железнодорожных вагонов в стране. Какова вероятность того, что случайно выбранный железнодорожный вагон произведен на этом заводе?

Решение:

34% ----> 34/100 = 0,34

Ответ: 0,34

Задачи на теоремы о вероятностях события

Несовместимые события - не могут наступить одновременно, наступление одного из них исключает наступление другого.

Для нахождения вероятности того, что наступит или одно событие, или другое, нужно сложить вероятности этих событий (если они несовместимы)

Задача 1

Вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач из предложенных, равна 0,68. Вероятность того, что больше шестнадцати задач, равна 0,59. Найдите вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач.

Решение:

Пусть Р(А) - "вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач" =?

Р(В) - "вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач" =0,68

Р(С) - "вероятность того, что больше 16 задач" = 0,59

"вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач"

Р(В) = Р(А) + Р(С) тогда

Р(А)=Р(В)-Р(С) = 0,68 - 0,59 = 0,09

Ответ: 0,09

Задача 2

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.

Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть Р(A) - «вероятность, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет» = ?

Р(В) - «вероятность, что чайник прослужит больше года» = 0,97

Р(С) - «вероятность, что чайник прослужит больше двух лет» = 0,89

тогда Р(В) =  Р(А) + Р(С) = «чайник прослужит больше года».

получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08

Ответ: 0,08

Независимые события - вероятность любого из двух событий не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Для нахождения вероятности того, что одновременно наступят и одно событие и другое, нужно перемножить вероятности этих событий (если события независимы)

Задача 3

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7.

Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела.

Вероятность события A равна P(A)=0,7.

Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся (вероятность того, что стрелок промахнулся равна 1-0,7=0,3)

а, стреляя второй раз, попал.

Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21.

События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ : 0,91

По ссылке Вы можете пройти тест "Задачи по теории вероятностей".

В тест включены задачи из сборников ОГЭ и ЕГЭ по математике обязательного уровня. Оценка выставляется сразу, Вы можете посмотреть свои ответы, сравнить с правильными, а также со страницы результата отправить на свой email (указать)  свой результат. 

https://onlinetestpad.com/ohr7s6amnwebc

Показательные неравенства.

Поясним, х – это степень, чтобы найти х, логарифмируем по основанию   , иными словами:

  , находим х,       

Подготовка к экзамену Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства    

            Решение:          

Основание показательной функции а=2 > 1, значит равносильным данному неравенству будет следующее неравенство:

Ответ :  2 числа : 1 и 2 .

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/