Контрольные вопросы «Абсолютная погрешность и ее граница. Верные цифры числа.

Относительная погрешность и ее граница. Приближенные вычисления; действия

с приближенными значениями вычислений. Вычисления с наперед заданной точностью»

Ответы: I вариант

Решение I вариант

При извлечении корня сохраняют столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении, однако,

по условию задачи необходимо взять приближенные значения корней с точностью до 0,001, тогда

 – учитываем точность

   (∆а = 0,001)

2. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле

S=a*h, в условии даны измерения со всеми значащими цифрами

a = 68,7 (значит ∆а = 0,5)

h = 52,6 (значит ∆h = 0,5)

S=a*h = 68,7 * 52,6 = 3613,62 используем правило округления до значащих цифр

S = 3610

Чтобы указать значащие цифры, необходимо знать границу абсолютной погрешности площади ∆S

 - граница абсолютной погрешности произведения        

Это значит, что S = 3600 (3600±72) и верные цифры 3 и 6

3. а = 7,36 ± 0,004, здесь ∆а = 0,004

b = 8,61 ± 0,005, здесь ∆b = 0,005

a*b= 7,36 * 8,61 = 63,3696   

Окончательно:  a*b = 63,4 ± 0,1

4.    испоользуем формулу относительной погрешности для квадратного корня

5. R = 8,  

S=π*R² – площадь круга, если учитывать приближенное значение числа π как константу, то используем формулу

границы относительной погрешности квадрата, тогда

 , запишем границу относительной погрешности, равную 0,5%, как 0,005 и решим неравенство

  ,значит точность измерения радиуса круга 0,02 м

Примеры решения задач

В а р и а н т    2.     1.       2. 0,750     3. 9,1 ± 0,35

Краткий конспект для подготовки к зачету

Иррациональные неравенства

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/

Решить уравнения:

1.             ОДЗ!!! x € N, x>=3 т.к. (х-3)>=0

  - умножим левую и правую часть на 6 (2*3=6)

   - не входит в ОДЗ

Проверка

2.            ОДЗ!!! x € N, x>=4  т.к. (х-4)>=0

Запишем

и подставим в уравнение:

Проверка:

Уравнения с размещением

Например:      

Здесь – произведение стольких чисел, сколько указано вверху – в примере 4 числа, и начинаем с самого большого числа – в примере 21, и каждый следующий множитель уменьшаем на 1

Уравнения:

Решение:

6*5*4 = 30*х

30*4 = 30*х, значит х=4  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>=0

Проверка: 6*5*4 = 30*4   120 = 120 (и) 

Ответ: х=4

Решение:

7*6*5 = 42*х

42*5 = 42*х, значит х=5  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>0

Проверка: 7*6*5* = 42*5   210 = 210 (и) 

Ответ: х=5

Уравнения с перестановками

P_n = n! = n(n-1)(n-2)(n-3)*…*3*2*1 – перестановки

Например: P₅ = 5*4*3*2*1 = 120

Уравнение:

P_x = P_x+2

Решение:

1. Распишем правую и левую части уравнения

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

2. Сократим одинаковые множители в левой и правой частях

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

3. Запишем полученное уравнение и решим (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые)

6 = (х+2)(х+1)

х² +3х – 4 =0

х₁= - 4 , х₂=1

 условие для корней комбинаторного уравнения х>=0, значит

х₁= - 4 – посторонний корень и корень уравнения

х=1

Проверка:

6*Р₁ = Р₁₊₂

6*Р₁ = Р₃

6*1 = 3*2*1

6=6 (и)

Ответ: х = 1

При нахождении предела функции часто возникает необходимость раскрытия неопределенностей. Здесь можно провести тождественные преобразования или применить так называемые замечательные пределы.

Второй замечательный предел:

Или

Примеры

При нахождении пределов с помощью второго замечательного предела, нужно провести преобразования выражения

таким образом, чтобы можно было применить формулу.

Task:

Find the equations of the sides of a triangle, given one its vertex A(3;-1), and also the equation of the bisector x-4y+10=0 and the median 6x+10y-59=0 drawn from different vertices.

Solution:

Let's find coordinates of point C.

Since BD is a median, coordinates of point D can be found as a coordinates of the middle of segment.

Let's substitute the obtained points into the equation of the median 6x+10y-59=0:

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Since AC∩CL at point C, we find the coordinates of point C from the solution of the system

Now we have point C(10;5).

Let's make the equation of the line AC passing through point A(3;-1) and point C(10;5) by the formula:

Side AC: 6х-7у-25=0

Let's make the equation of line BC, which is inclined to line AC at the angle 2γ.

Since CL is the bisector of angle C (angle 2γ), we find tg γ at intersecting lines AC and CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

By the formula for the tangent of a double argument (trigonometry):

 - tangent of the angle between lines AC and BC

Let us find k of the line BC from the equality:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Let's make an equation of the side BC:

Equation of the BC side: 2х+9у-65=0

Since BC∩BD at point B, we find the coordinates of point B from the solution of the system:

Knowing the coordinates of point B, write the equation of side AB:

18х+13у-41=0 - equation of side АВ

Основные методы решения систем линейных уравнений

1. Матричный способ

Матрица системы

Вектор переменных

Вектор правой части

Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то для нее существует единственная обратная матрица и система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), то обратная матрица не существует. В этом случае, система либо несовместима, либо имеет множество решений.
4. Метод удобен для решения нескольких систем, отличающихся только правой частью.

Запишем:

Найдем обратную матрицу:

●

●

Можно записать определитель так

Транспонируем матрицу А (строки записываем вместо столбцов, а столбцы вместо строк), получаем

Находим алгебраические дополнения

●

●

Окончательное решение:

Ответ:

2. Решение СЛУ методом Крамера.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных.
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), а хотя бы один из ∆ переменных отличен от 0, то система не имеет решений.
4. Если все ∆=0, то этом случае, система либо несовместима, либо имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм решения СЛУ:

3. Найдем ∆ для каждой переменной. Для этого в матрице системы столбец коэффициента искомой переменной меняем на значения вектора правой части

4. Находим отношения:

Ответ:

3. Решение СЛУ методом Гаусса

Метод Гаусса можно применять для любой размерности.

Теорема Кронекера-Копелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При этом возможна три варианта:

Для исследования СЛУ и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Решение СЛУ методом Гаусса проводят в 2 этапа:

Первый этап:

Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду (к ступенечатому виду)

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Перестановка строк
2. Умножение всех строки на ненулевое число
3. Замена элементов строки суммой с соответствующими элементами другой строки
4. Вычеркивание нулевой строки

Элементарные преобразования расширенной матрицы приводят систему к эквивалентной.

Второй этап:

Записываем эквивалентную систему и находим ее решения

Показательные неравенства.

Поясним, х – это степень, чтобы найти х, логарифмируем по основанию   , иными словами:

  , находим х,       

Подготовка к экзамену Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства    

            Решение:          

Основание показательной функции а=2 > 1, значит равносильным данному неравенству будет следующее неравенство:

Ответ :  2 числа : 1 и 2 .

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/

Решение простейших тригонометрических уравнений Sin x = m,  |m| ≤ 1

    (если | m | > 1, то уравнение не имеет решений)

Множество корней уравнения можно записать одной формулой

(1)

При решении тригонометрических уравнений

Sin x = m   необходимо учитывать, что главный угол множества решений будет находиться в промежутке

- π/2 ≤ arcSin m ≤ π/2, остальное множество решений находится путем прибавления периода синуса к найденному значению главного угла, см. формулу (1)

Также полезно помнить решения частных случаев

Примеры

1.         , применяем формулу (1)

Ответ: 

Ответ:

 , разделим левую и правую  часть на 2

Ответ:

 , умножим левую и правую  часть на 3

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

            и умножим обе части уравнения на -1

Это лучше сделать, чтобы коэффициент при x стал положительным

  умножим на 2 левую и правую  части

Ответ:  

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Ответ:

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Так как   , то запишем ответ в виде

Применяем формулу (1)

 ,

умножаем левую и правую  часть уравнения на 3

Обратите внимание, что  умножается угол    , а не значение функции ( )

Делим левую и правую  часть на 2

Ответ:

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

 , умножим обе части уравнения на ( -1)

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Запишем

     и  далее       (так как функция Sin x нечетная)

Умножим на (-1) левую и правую части

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

Ответ :   

Перенесем        в правую часть уравнения с противоположным знаком

Разделим левую и правую часть на   

Решаем аналогично уравнения 10

Поменяем местами слагаемые:

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

Разделим на 2 левую и правую части

Ответ:  

Так как функция нечетная, то

Умножаем на (-1) обе части уравнения

и записываем решение (уравнение Sin y = 0 – частный случай, решение данного уравнения ), поэтому

Ответ: 

Перепишем

Уравнение вида Sin y = - 1 также частный случай

Решением данного уравнения является    

Поэтому

Далее

Ответ:

Извлечем квадратный корень и получим совокупность уравнений:

совокупность уравнений, это не система уравнений. Здесь решение каждого уравнения являются решениями исходного (не надо искать общее решение)

Можно записать решение уравнения следующим образом:

Ответ:    

Раскрывая знак модуля получим

Применяя формулу (1) запишем решение

   или

Ответ:  

1. В цилиндре осевым сечением является квадрат, а площадь основания равна 16π кв. дм. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Решение:

2. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 10 и 16 см, тогда площадь основания цилиндра может быть равна:

Решение:

3. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 12 и 8 см, тогда площадь боковой поверхности цилиндра может быть равна:

Решение:

Тест можно пройти по ссылке, оценка выставляется автоматически по результатам теста

https://math4everyone.info/tests/tela-i-poverhnosti-vrascheniya-tsilindr/geometriya-10-11-klass/

Факториал. Перестановки. Решение комбинаторных уравнений, содержащих факториал и перестановки.

Задача. Вы пригласили гостей, стулья расставлены около праздничного стола. Сколькими способами можно усадить 6 человек на 6 стульях за столом?

Решение:

Первый человек может сесть на любой из 6 стульев – 6 способов

Второй человек может сесть на любой из оставшихся 5 стульев – 5 способов

Третий – на любой из оставшихся 4 стульев – 4 способа

Для четвертого осталось на выбор только 3 стула – 3 способа

Пятый – выбирает из двух стульев – 2 способа

Шестому остается только один стул – 1 способ

Посчитаем количество способов – 6*5*4*3*2*1 = 720 способов.

В результате мы получили произведение шести множителей, это и есть общее количество всех способов усадить 6 человек на 6 стульях.

Такое произведение подряд идущих натуральных чисел называется n – факториал и обозначается n!

Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называется «эн – факториал» (в переводе с английского обозначает состоящий из n множителей). Обозначают n! = n*(n – 1)*(n – 2)* … *3*2*1.

Таблица первых десяти значений n!

Вернемся к задаче, для решения достаточно было «упорядочить» гостей за праздничным столом, усадив на уже готовые места.

Такое упорядочение называется перестановкой.

Определение: Перестановками из n элементов называют различные упорядочивания данного количества конечного множества, состоящего из n элементов.

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений с использованием n!

Практические занятия

1. Вычислите:

2. Упростить выражение:

Здесь самое большое число (m+4), а самое маленькое (m+1) – подставьте вместо m любое натуральное число, например 1, чтобы проверить себя.

В данном выражении самое большое число (n – 1) , а самое маленькое

(n – 3), т.к под знаком факториала мы не можем поставить отрицательное число, то для проверки вместо n надо подставить натуральное число больше 3, например, 4 .

3. Решить уравнения:

Распишем факториал в уравнении, чтобы можно было упростить его левую часть. Затем, решаем уравнение относительно переменной n.

При решении уравнения обязательно прописываем ОДЗ и проверяем полученные корни уравнения по условиям ОДЗ.

Ответ: n=3.

Определяем ОДЗ для корней уравнения. n≥5 т.к. в исходном уравнении P_n-5.

Расписываем перестановки по формуле P_n=n! и подставляем в уравнение. Обратите внимание, последний множитель со знаком факториала.

Сокращаем и решаем уравнение, корни проверяем по ОДЗ.

В левой и правой части уравнения есть одинаковые множители, перенесем все в левую часть и приравняем к нулю.

Одинаковые множители  (n-2)(n-3) вынесем за скобку, получим произведение, равное нулю.

Запишем систему и решим первое уравнение системы

Корни первого уравнения системы не подходят по ОДЗ, решаем второе уравнение.

Заметим, (n² + 4) при любом значении n неравно нулю.

Проверка

(0!=1, см. выше Примечания)

Ответ: n = 5

     4. Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.

Решение:

Эта задача на перестановки цифр в записи числа. Дано 4 числа, надо составить четырехзначные числа без повторов цифр.

Р₄=4! = 4*3*2*1 =24

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, поэтому исключим такие перестановки: 0 на первом месте, а остальные перестановки из трех оставшихся цифр

Р₃=3! = 3*2*1 = 6

Значит, количество таких четырехзначных чисел равно

4! – 3! = 24 – 6 =18

Ответ: 18.

  5. Из цифр 1, 3, 4, 6, 7 составьте множество всех возможных пятизначных чисел без повторяющихся цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7

Цифра 7 стоит на первом месте, значит переставлять будем оставшиеся 4 цифры – Р₄ = 4! = 24

б) не начинаются с цифры 1

Всего чисел (без повторений цифр) Р₅ = 5! = 120

Исключим те, у которых цифра 1 на первом месте Р₄ = 4! = 24

Тогда искомых пятизначных чисел 5! – 4! = 120 – 24 = 96

в) начинаются с 34

Цифры 3 и 4 стоят в числе на своем месте, значит остается перестановка трех неповторяющихся цифр Р₃ = 3! = 6

г) не начинается с 673

Всего пятизначных чисел из цифр 1, 3, 4, 6 и 7   Р₅ = 5! = 120.

Тогда чисел, которые начинаются с 673 будет 2! = 2 (осталось переставить только 2 цифры), значит ответ: 120 – 2 = 118

д) четные

Из чисел 1, 3, 4, 6 и 7 четные два числа 4 и 6

Пусть цифра 4 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Всего четных пятизначных чисел без повторений 24 + 24 = 48

  6.  Вычислите:

а)                              

б)    

в)