Основные методы решения систем линейных уравнений

1. Матричный способ

Матрица системы

Вектор переменных

Вектор правой части

Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то для нее существует единственная обратная матрица и система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), то обратная матрица не существует. В этом случае, система либо несовместима, либо имеет множество решений.
4. Метод удобен для решения нескольких систем, отличающихся только правой частью.

Запишем:

Найдем обратную матрицу:

●

●

Можно записать определитель так

Транспонируем матрицу А (строки записываем вместо столбцов, а столбцы вместо строк), получаем

Находим алгебраические дополнения

●

●

Окончательное решение:

Ответ:

2. Решение СЛУ методом Крамера.

Особенности метода:

1. Можно использовать только для систем, в которых количество уравнений равно количеству переменных.
2. Если матрица системы невырожденная (∆≠0), то система имеет единственное решение.
3. Если матрица системы вырожденная (∆=0), а хотя бы один из ∆ переменных отличен от 0, то система не имеет решений.
4. Если все ∆=0, то этом случае, система либо несовместима, либо имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм решения СЛУ:

3. Найдем ∆ для каждой переменной. Для этого в матрице системы столбец коэффициента искомой переменной меняем на значения вектора правой части

4. Находим отношения:

Ответ:

3. Решение СЛУ методом Гаусса

Метод Гаусса можно применять для любой размерности.

Теорема Кронекера-Копелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При этом возможна три варианта:

Для исследования СЛУ и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.

Решение СЛУ методом Гаусса проводят в 2 этапа:

Первый этап:

Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду (к ступенечатому виду)

К элементарным преобразованиям относятся:

1. Перестановка строк
2. Умножение всех строки на ненулевое число
3. Замена элементов строки суммой с соответствующими элементами другой строки
4. Вычеркивание нулевой строки

Элементарные преобразования расширенной матрицы приводят систему к эквивалентной.

Второй этап:

Записываем эквивалентную систему и находим ее решения