Решить уравнения:

1.             ОДЗ!!! x € N, x>=3 т.к. (х-3)>=0

  - умножим левую и правую часть на 6 (2*3=6)

   - не входит в ОДЗ

Проверка

2.            ОДЗ!!! x € N, x>=4  т.к. (х-4)>=0

Запишем

и подставим в уравнение:

Проверка:

Уравнения с размещением

Например:      

Здесь – произведение стольких чисел, сколько указано вверху – в примере 4 числа, и начинаем с самого большого числа – в примере 21, и каждый следующий множитель уменьшаем на 1

Уравнения:

Решение:

6*5*4 = 30*х

30*4 = 30*х, значит х=4  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>=0

Проверка: 6*5*4 = 30*4   120 = 120 (и) 

Ответ: х=4

Решение:

7*6*5 = 42*х

42*5 = 42*х, значит х=5  

и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>0

Проверка: 7*6*5* = 42*5   210 = 210 (и) 

Ответ: х=5

Уравнения с перестановками

P_n = n! = n(n-1)(n-2)(n-3)*…*3*2*1 – перестановки

Например: P₅ = 5*4*3*2*1 = 120

Уравнение:

P_x = P_x+2

Решение:

1. Распишем правую и левую части уравнения

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

2. Сократим одинаковые множители в левой и правой частях

6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1

3. Запишем полученное уравнение и решим (раскрыть скобки, привести подобные слагаемые)

6 = (х+2)(х+1)

х² +3х – 4 =0

х₁= - 4 , х₂=1

 условие для корней комбинаторного уравнения х>=0, значит

х₁= - 4 – посторонний корень и корень уравнения

х=1

Проверка:

6*Р₁ = Р₁₊₂

6*Р₁ = Р₃

6*1 = 3*2*1

6=6 (и)

Ответ: х = 1

Факториал. Перестановки. Решение комбинаторных уравнений, содержащих факториал и перестановки.

Задача. Вы пригласили гостей, стулья расставлены около праздничного стола. Сколькими способами можно усадить 6 человек на 6 стульях за столом?

Решение:

Первый человек может сесть на любой из 6 стульев – 6 способов

Второй человек может сесть на любой из оставшихся 5 стульев – 5 способов

Третий – на любой из оставшихся 4 стульев – 4 способа

Для четвертого осталось на выбор только 3 стула – 3 способа

Пятый – выбирает из двух стульев – 2 способа

Шестому остается только один стул – 1 способ

Посчитаем количество способов – 6*5*4*3*2*1 = 720 способов.

В результате мы получили произведение шести множителей, это и есть общее количество всех способов усадить 6 человек на 6 стульях.

Такое произведение подряд идущих натуральных чисел называется n – факториал и обозначается n!

Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называется «эн – факториал» (в переводе с английского обозначает состоящий из n множителей). Обозначают n! = n*(n – 1)*(n – 2)* … *3*2*1.

Таблица первых десяти значений n!

Вернемся к задаче, для решения достаточно было «упорядочить» гостей за праздничным столом, усадив на уже готовые места.

Такое упорядочение называется перестановкой.

Определение: Перестановками из n элементов называют различные упорядочивания данного количества конечного множества, состоящего из n элементов.

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений с использованием n!

Практические занятия

1. Вычислите:

2. Упростить выражение:

Здесь самое большое число (m+4), а самое маленькое (m+1) – подставьте вместо m любое натуральное число, например 1, чтобы проверить себя.

В данном выражении самое большое число (n – 1) , а самое маленькое

(n – 3), т.к под знаком факториала мы не можем поставить отрицательное число, то для проверки вместо n надо подставить натуральное число больше 3, например, 4 .

3. Решить уравнения:

Распишем факториал в уравнении, чтобы можно было упростить его левую часть. Затем, решаем уравнение относительно переменной n.

При решении уравнения обязательно прописываем ОДЗ и проверяем полученные корни уравнения по условиям ОДЗ.

Ответ: n=3.

Определяем ОДЗ для корней уравнения. n≥5 т.к. в исходном уравнении P_n-5.

Расписываем перестановки по формуле P_n=n! и подставляем в уравнение. Обратите внимание, последний множитель со знаком факториала.

Сокращаем и решаем уравнение, корни проверяем по ОДЗ.

В левой и правой части уравнения есть одинаковые множители, перенесем все в левую часть и приравняем к нулю.

Одинаковые множители  (n-2)(n-3) вынесем за скобку, получим произведение, равное нулю.

Запишем систему и решим первое уравнение системы

Корни первого уравнения системы не подходят по ОДЗ, решаем второе уравнение.

Заметим, (n² + 4) при любом значении n неравно нулю.

Проверка

(0!=1, см. выше Примечания)

Ответ: n = 5

     4. Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.

Решение:

Эта задача на перестановки цифр в записи числа. Дано 4 числа, надо составить четырехзначные числа без повторов цифр.

Р₄=4! = 4*3*2*1 =24

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, поэтому исключим такие перестановки: 0 на первом месте, а остальные перестановки из трех оставшихся цифр

Р₃=3! = 3*2*1 = 6

Значит, количество таких четырехзначных чисел равно

4! – 3! = 24 – 6 =18

Ответ: 18.

  5. Из цифр 1, 3, 4, 6, 7 составьте множество всех возможных пятизначных чисел без повторяющихся цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7

Цифра 7 стоит на первом месте, значит переставлять будем оставшиеся 4 цифры – Р₄ = 4! = 24

б) не начинаются с цифры 1

Всего чисел (без повторений цифр) Р₅ = 5! = 120

Исключим те, у которых цифра 1 на первом месте Р₄ = 4! = 24

Тогда искомых пятизначных чисел 5! – 4! = 120 – 24 = 96

в) начинаются с 34

Цифры 3 и 4 стоят в числе на своем месте, значит остается перестановка трех неповторяющихся цифр Р₃ = 3! = 6

г) не начинается с 673

Всего пятизначных чисел из цифр 1, 3, 4, 6 и 7   Р₅ = 5! = 120.

Тогда чисел, которые начинаются с 673 будет 2! = 2 (осталось переставить только 2 цифры), значит ответ: 120 – 2 = 118

д) четные

Из чисел 1, 3, 4, 6 и 7 четные два числа 4 и 6

Пусть цифра 4 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24

Всего четных пятизначных чисел без повторений 24 + 24 = 48

  6.  Вычислите:

а)                              

б)    

в)     

 - сочетания

При решении комбинаторных  уравнений надо помнить, что полученное значение - только натуральное число

Применяйте удобную формулу, чтобы максимально сократить уравнение

Распишите соединения отдельно, сократите и подставьте в уравнение

Примеры комбинаторных уравнений

ОДЗ х>=4 т.к. (х-4) >= 0

Распишем каждое сочетание и подставим в уравнение

Запишем уравнение и ОДЗ x>4:

Сгруппируем:

Проверка:

Комбинаторные неравенства

Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, P_n = n!

Примечания.

1. Пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, т.е. 0! = 1.
2. Область определения функции f(n) = n! (факториала):  D(f) = {nÎN, n=0} или   D(f) = NÈ{0}. Это необходимо учитывать при решении уравнений и неравенств с использованием n!

Решить неравенство:

ОДЗ : (5х-2) = 0

          (5х-2) Î N

Т.к  в знаменателе стоит факториал, то выражение в скобках под знаком факториала должно быть натуральным числом и надо понимать, что 0! = 1

Выберем значения х из данного промежутка, которые удовлетворяют условиям ОДЗ:

х Î{2/5; 3/5; 4/5; 1; 6/5; 7/5; 8/5; 9/5}

ОДЗ! x € N, x>=4, т.к. (х-4)>=0

Подставим в уравнение и сократим

Проверка: