Решение квадратных тригонометрических уравнений.
Уравнение распадается на два уравнения: и
Решение первого уравнения: ,
Решение второго уравнения:
Объединяем эти решения и получим:
Ответ:
Уравнение распадается на два уравнения: и
Решение первого уравнения: ,
Решение второго уравнения: ,
Объединяем эти решения и получим:
Ответ:
Решить уравнение
Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Получим
Решим квадратное уравнение относительно t:
=
=
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
t =
, следовательно
t =
, следовательно
Решаем полученные уравнения относительно x:
, получаем
,
, получаем
Ответ: ,
.
Для решения данного уравнения введен новую переменную: cos(x)=t,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Получим
Решим квадратное уравнение относительно t:
=
=
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
t = 2 >1, следовательно не имеет решений:
В данном случае решать уравнение является грубейшей ошибкой, т.к.
, а arccos 2 вообще не имеет смысла!
t =
, следовательно
, решаем полученное уравнение:
,
Ответ: .
В данном уравнении необходимо применить основное тригонометрическое тождество, для того чтобы прийти к одной функции
Приводим к функции синуса, т.к. проще представить
Получаем уравнение:
Раскрываем скобки:
, приводим подобные слагаемые:
, умножим на (-1) для простоты решения:
Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,
Определим область допустимых значений для нашей переменной:
Получим
Решим квадратное уравнение относительно t:
Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t
t = < -1, следовательно,
не имеет решений:
t =
, следовательно,
, ответ
Ответ:
Разберемся с областью определения для решений данного уравнения.
Область определения тангенса
Область определения котангенса
Объединив эти промежутки получим:
|
|
Для решения данного уравнения используем тригонометрическое тождество , перепишем уравнение:
, получим
, далее
, произведем замену
Получим
Решим квадратное уравнение относительно t:
t=1, следовательно
,
t= -2, следовательно
Ответ: ,
Решение простейших тригонометрических уравнений Sin x = m, |m| ≤ 1
(если | m | > 1, то уравнение не имеет решений)
Множество корней уравнения можно записать одной формулой
(1)
При решении тригонометрических уравнений
Sin x = m необходимо учитывать, что главный угол множества решений будет находиться в промежутке
- π/2 ≤ arcSin m ≤ π/2, остальное множество решений находится путем прибавления периода синуса к найденному значению главного угла, см. формулу (1)
Также полезно помнить решения частных случаев
Примеры
Ответ:
Ответ:
, разделим левую и правую часть на 2
Ответ:
, умножим левую и правую часть на 3
Ответ:
Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом
и умножим обе части уравнения на -1
Это лучше сделать, чтобы коэффициент при x стал положительным
умножим на 2 левую и правую части
Ответ:
Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное
Ответ:
Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное
Так как , то запишем ответ в виде
Применяем формулу (1)
,
умножаем левую и правую часть уравнения на 3
Обратите внимание, что умножается угол , а не значение функции (
)
Делим левую и правую часть на 2
Ответ:
Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом
, умножим обе части уравнения на ( -1)
Умножим на 2 левую и правую части уравнения
Поменяем местами слагаемые:
Перенесем в правую часть с противоположным знаком
Разделим на 2 левую и правую части
Ответ:
Запишем
и далее
(так как функция Sin x нечетная)
Умножим на (-1) левую и правую части
Перенесем в правую часть с противоположным знаком
Умножим на 2 левую и правую части уравнения
Ответ :
Перенесем в правую часть уравнения с противоположным знаком
Разделим левую и правую часть на
Решаем аналогично уравнения 10
Поменяем местами слагаемые:
Перенесем в правую часть с противоположным знаком
Разделим на 2 левую и правую части
Ответ:
Так как функция нечетная, то
Умножаем на (-1) обе части уравнения
и записываем решение (уравнение Sin y = 0 – частный случай, решение данного уравнения ), поэтому
Ответ:
Перепишем
Уравнение вида Sin y = - 1 также частный случай
Решением данного уравнения является
Поэтому
Далее
Ответ:
Извлечем квадратный корень и получим совокупность уравнений:
совокупность уравнений, это не система уравнений. Здесь решение каждого уравнения являются решениями исходного (не надо искать общее решение)
Можно записать решение уравнения следующим образом:
Ответ:
Раскрывая знак модуля получим
Применяя формулу (1) запишем решение
или
Ответ: