Тригонометрия. Графики тригонометрических функций.

Построение графиков тригонометрических  функций

Рассмотрим построение графиков тригонометрических функций

Пример 1

Построить график функции.   y = Sin 2x  

Сначала изобразим график синуса, его период равен T=2π:
Синусоида

Обратите внимание на масштаб в данных чертежах.
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку π≈3.14 ; π/2≈1.57; 2π≈6.28 и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра. Поэтому можно сделать это проще, зная поведение синусоиды. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её  к оси OY в 2 раза:
Сжатие синусоиды к оси OY в два раза. График синуса двух икс
То есть, график функции   y = Sin 2x     получается путём сжатия графика   y = Sin x    к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже сократился на половину: T=π

Пример 2

Построить график функции y = Cos 3x, значит график функции y = Cos x  сжимается к оси OY в 3 раза:


Сжатие графика косинуса к оси OY в 3 раза
Итоговый график y=Cos3x  проведён красным цветом.
Исходный период T=2π  косинуса закономерно уменьшается в три раза: T=2π/3 (отграничен жёлтыми точками).

Пример 3

Построить график функции y=Sin x/2 т.е растягиваем синусоиду от оси OY в 2 раза:
Растяжение синусоиды от оси OY в два раза. График синуса икс пополам

То есть, график функции 

y=Sin x/2  получается путём растяжения графика y=Sin x от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: T=2π*2=4π 

Пример 4

Построить график функции  

График синуса y=Sin x (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси OX на π/2  влево:
Сдвиг синусоиды вдоль оси абсцисс
Внимательно присмотримся к полученному красному графику

 

Это в точности график косинуса y=Cos x.  

По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения 

График  функции y=Cos x  получается путём сдвига синусоиды y=Sinx вдоль оси OX на π/2 единиц влево.

Пример 5

Построить графики функций y=2Sin x, y=1/2 Sin x .

Вытягиваем синусоиду вдоль оси  OY  в 2 раза:
Растяжение графика вдоль оси OY
Период функции y=2Sinx не изменился и составляет T=2π, а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: 

 

Построение второго графика: сожмём синусоиду вдоль оси OY  в 2 раза:
Сжатие графика вдоль оси OY
Аналогично, период T=2π  не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза:

Пример 6

Построить графики функций y=Sin x + 2, y=Sin x -1 .

Сдвиг графика вверх и вниз вдоль оси OY

В первом случае переносим синусоиду на 2 единицы в вверх по оси OY,

Во втором – вниз на 1 единицу по оси OY.

 

Глава 7 «Графики и функции», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

  1. https://urait.ru/
  2. http://mathprofi.ru/
  3. https://23.edu-reg.ru/