Дробные рациональные уравнения

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Например, рациональными являются уравнения а) – д)

а) 3х+4=2(1 – х²)

б)

в)

г)

д)

е)

Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями называют целыми уравнениями.

Например, целыми являются уравнения а, б (квадратные уравнения), в знаменателе число, а не выражение с переменной).

Рациональные уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробными рациональными уравнениями (в знаменателе есть переменная или выражение с переменной).

Например, такими являются уравнения в) – д)

Уравнение е) содержит иррациональность, и является иррациональным

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2. Найти общий знаменатель этих дробей
3. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель.
4. Решить получившееся целое уравнение.
5. Из корней этого уравнения исключить те, которые обращают в ноль общий знаменатель данного уравнения.

Рассмотрим следующее уравнение:

Разложим все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители

х² – 25 = (х-5)(х+5)

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен: (х-5)(х+5)

Умножим все члены данного уравнения на общий знаменатель при условии, что (х-5)(х+5)≠0, т.е. х≠-5, х≠5

И получим равносильное уравнение

(2х – 8)(х+5) + 10 = (х+4)(х – 5)

2х²+2х – 30 = х² – х – 20

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены

х² + 3х – 10 = 0

Решим получившееся целое уравнение

х= - 5, х=2

Исключим х = -5, т.к. он не удовлетворяет условию (х-5)(х+5)≠0

Значит, корень данного уравнения

х=2