Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Решение задач.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии:
Sn=a1+a2+…+an
Равна полусумме первого и n-го ее её членов, умноженной на n членов, т.е
вычисляется по формуле:
Если заменить an = a1 + d(n-1) то получим формулу:
Задача 1.
Найти сумму ста первых натуральных чисел.
Решение:
Последовательность 2, 4, 6,….2n,…, 200
d=2
n=100
Ответ: 10100
Задача 2.
Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, где а1=3 и d=2, чтобы их сумма равнялась 168?
Решение:
По формуле
получим:
Или 2n – n2 = 168
n2 + 2n -168 =0
n= -14 – не подходит по условию задачи
n= 12
Ответ: 12
В сборниках типовых вариантов экзаменационных заданий задачи на прогрессию под номером 14.
В задачах ОГЭ на прогрессию нет условий, в которых вам бы сразу были даны а1, d (разность) или Sn.
Здесь надо немного подумать, а может и начертить чертеж.
Например,
Задача 3.
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний день улитка проползла
в сумме 6,5 метра. Определите сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 26 метров.
Решение:
В данной задаче нам дана сумма арифметической прогрессии – это путь, который проделала улитка – 26 метров,
также нам дана сумма пути в первый и последний день – 6,5 метра.
Используем формулу нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии
, тогда 6,5n = 52, отсюда n = 52:6,5 = 8
Ответ: 8
Задача 4.
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в амфитеатре?
Решение:
Здесь а1 = 13, d = 2, тогда
а13=17 + 2*12 = 17+24 = 41
Ответ: 377
Задача 5.
В кафе только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображен случай, когда сдвинули три квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который может получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии?
Решение:
Здесь а1 = 4, а2 = 6, а3 = 8, тогда d = 6 – 4 = 2
an = a1 + d(n-1)
а15 = 4+2∙14 = 4+28 = 32
Ответ: 32
Задача 6.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным способом, последнее звено которой имеет длину 120.
Решение:
Обратите внимание, что ломаная начинается с центральной клетки:
1 клетка + 1 клетка = 1+1, далее
2 клетки + 2 клетки = 2+2 и т.д., т.е.
Длина = 1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10+10 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)∙2 = 2S10
Тогда, при n=120 длина ломаной будет равна 2∙S120
Длина ломаной – 2∙7260 = 14520
Ответ: 14520