Геометрическая прогрессия. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

По преданию, шахматы были изобретены в V в. н.э. в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета. Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую всей своей скромностью. Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 пшеничных зерна, за третью – 4 пшеничных зерна, за четвертую – 8 зерен, за пятую – 16 зерен и т.д. до 64–й клетки доски. То есть, за каждую следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше зерен, чем за предыдущую.

Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося столь ничтожную награду, пренебрег царской милостью. Попытаемся вместе с придворным царским математиком подсчитать, сколько же зерен пшеницы должен получить изобретатель Сета.

Для того, чтобы подсчитать цену награды надо сложить числа:

1+2+2²+2³+…+2⁶³ = 2⁶⁴ – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Читается это гигантское число так: 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615!

Такую награду должен был дать царь Шерам изобретателю Сету. Чтобы поместить эти зерна в амбар, в основании которого лежит прямоугольник 8х10 метров, высоту этого амбара нужно взять 150 000 000 км – она совпадает с расстоянием от Земли до Солнца. Такого количества зерна нет ни у одного царя, и просьбу Сета выполнить невозможно. Слагаемые данной суммы образуют последовательность, которую в математике называют геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия – это последовательность, каждый член которой получается из предыдущего умножением на одно и то же число q.

Число q называется знаменателем прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Например,

а) последовательность 3, 9, 27, … - геометрическая прогрессия со знаменателем q=3

б) последовательность -3, -6, -12, -24, … - геометрическая прогрессия со знаменателем q=2

в) последовательность      - геометрическая прогрессия со знаменателем     

г) последовательность   - геометрическая прогрессия со знаменателем

Задача 1.

Последовательность (b_n) геометрическая прогрессия, причем

Найти b₁

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Запишем

   тогда     

q=2

q= - 2

Ответ: 12;  

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению двух ее соседних членов.

Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получим, что для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется равенство

Таким образом, справедливо и обратное утверждение:

Если для всех членов последовательности (b_n) начиная со второго, выполняется равенство

      то эта последовательность – геометрическая прогрессия.

         Напомним, что при      называется средним геометрическим чисел a и b, отсюда справедливо утверждение:

Числа a, b, c являются последовательными членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Это свойство и объясняет название геометрической прогрессии.

Задача 2.

Числа (y – 2)² , y²,  (y + 2)² образуют геометрическую прогрессию. Найти y.

Решение:

Эти три числа составляют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Решая данное уравнение, получим

Значит,

Ответ: