Что надо знать?

• как вычислить площадь прямоугольника
• как вычислить объем параллелепипеда
• теорема Пифагора

Многие текстовые задачи (особенно на движение и совместную работу) сводятся к решению дробных рациональных уравнений.

Задача 1

Грузовик остановился для заправки горючим на 24 мин. Увеличив свою скорость на 10 км/ч, он наверстал потерянное время на расстоянии 80 км. С какой скоростью двигался грузовик после остановки?

Решение:

Возьмем расстояние, которое проехал грузовик – 80 км и составим таблицу:

Пусть х км/ч первоначальная скорость грузовика.

Тогда 80 км он проехал бы за время      (ч).

На самом деле грузовик сначала задержался на 24 мин.

Обязательно перевести минуты в часы  

Потом он увеличил скорость на 10 км/ч и стал двигаться со скоростью

(х + 10) км/ч.

Тогда 80 км он преодолел за   и компенсировал потерянное время

Получили дробное рациональное уравнение.

Решим его:

Общий знаменатель дробей 5х(х+10)

   - умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей при условии, что он неравен 0, (х≠0, х≠-10) и получим

80*5х+2х(х+10) =80*5(х+10)

Перенесем все члены уравнения левую часть, приведем подобные слагаемые

2х²+20х – 4000=0

х²+10х – 2000=0

х₁=-50 – не удовлетворяет условию (скорость автомобиля)

х₂= 40

Тогда скорость грузовика после остановки

х+10 = 40+10=50 (км/ч)

Ответ: 50

Задача 2

Один кран наполняет бассейн на 6 ч быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно?

Решение:

Пусть один кран наполнит бассейн за х ч.,

тогда другой кран – за (х + 6) ч.

Пусть объем бассейна составляет V л. Примем объем бассейна за 1

Тогда первый кран в час  наливает в бассейн   л,

второй кран   л. Вместе в час они наливают  л.

Эти краны наполняют бассейн за 4 ч и в час наливают в него  л.

Поэтому получаем дробное рациональное уравнение

Решим его.

Общий знаменатель 4х(х+6), умножим все части полученного уравнения на общий знаменатель, при условии, что он неравен нулю х≠0,  х≠-6

4(х+6) + 4х = х(х+6)

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые

– х² + 2х+24=0 |*(-1)

 х² –  2х – 24=0

х= - 4 (не удовлетворяет условию)

х= 6

Значит, 1 кран наполнит бассейн, работая один за 6 ч.,

второй кран

(х+6) = 6+6 = 12 ч.

Ответ: 6 ч., 12 ч.

Задача 3

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби больше её числителя на 5. Если числитель и знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет больше первоначальной на 1/8. Найдите первоначальную дробь.

Решение:

Пусть числитель данной дроби равен х,

тогда её знаменатель х + 5, и дробь имеет вид  .

После увеличения на 2 числитель дроби стал х + 2, знаменатель х + 7.

Полученная дробь имеет вид    

По условию дробь больше данной на

Поэтому имеем дробное рациональное уравнение

Решим его.

Общий знаменатель 8(х+5)(х+7), умножим все части полученного уравнения на общий знаменатель, при условии что он неравен 0 (х≠-5, х≠-7)

8(х+2)(х+5) – 8х(х+7)= (х+5)(х+7)

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, перенесем все члены уравнения в левую часть

- х² – 12х + 45 =0 | *(-1)

х² + 12х – 45 =0

х= - 15 (не удовлетворяет условию)

х=3

Тогда данная дробь 

Ответ:  

Вариант 1

1. Катер прошел 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.
2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше её числителя. Если числитель дроби увеличить на 3, а её знаменатель уменьшить на 3, то полученная дробь будет на 11/18 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

Вариант 2

1. Катер прошел 20 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше её числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а её знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

Решение задач с помощью уравнения (уровень Б)

Многие задачи можно решить с помощью уравнений, следуя простому алгоритму (порядок действий):

1. Обозначить за х искомое неизвестное (или выбрать из условия величину, которую можно принять за х)
2. Перевести на математический язык условие задачи и составить уравнение
3. Решить полученное уравнение
4. Ответить на вопрос задачи
5. Проверить, соответствует ли полученный ответ условию и смыслу задачи

Как перевести условие задачи на математический язык, оформить ее в формулы и записать уравнение?

Задача 1

За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали 4/9 того, что продали в первый, а в третий - столько, сколько за первые два дня вместе. Сколько кг апельсинов продали в первый день?

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х = 45 (кг) – продали в 1 день

Проверка

 (кг)

Ответ: 45 кг

Задача 2

Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней планировал готовиться к экзамену?

Решение

За х возьмем количество дней, за которые ученик планировал готовиться к экзамену. Это вопрос задачи.

При составлении уравнения надо понимать, что количество задач, которые надо было решить в обоих рассматриваемых случаях одинаково, но если ученик будет решать больше задач в день, то быстрее закончит подготовку

16х – 48 + 8 = 12х

4х = 40

х = 10 – дней ученик планировал готовиться к экзамену

Проверка

12 * 10 = 120 (д)

16 * (10 – 3) = 16*7 + 8 = 112 (д)

120 – 112 = 8 (д) – соответствует условию

Ответ: 10 дней

Задача 3

Мастер планировал ежедневно изготавливать по 24 детали, чтобы выполнить заказ вовремя. Но поскольку он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше, то уже за шесть дней до окончания срока работы он изготовил 21 деталь сверх заказа. Сколько дней мастер должен был работать над заказом?

Решение

За х возьмем количество дней, которые мастер должен был работать над заказом. Это вопрос задачи.

Полученное уравнение соответствует условию задачи

39 (х – 6) – 24х = 21

39х – 234 – 24х = 21

15х = 21+234

15х = 255

х = 255:15

х = 17 – количество дней, которые мастер должен был работать над заказом

Проверка

24*17=408 (д)

408 + 21 = 429 (д)

39*(17 – 6) = 39*11 = 429 (д)

Ответ: 17 дней

Задача 4

Из одного города выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, а через 2 ч после этого из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 75 км/ч. Найдите время, которое потратил на дорогу каждый автомобиль до момента встречи, если расстояние между городами равно 690 км.

S = Vt

Встречное движение V₁t₁ + V₂t₂ = S

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

65х + 75(х – 2) = 690

65х + 75х – 150 = 690

140х = 840

х = 840:140

х = 6 (ч) – время, встречи 1 автомобиля

(х – 2) = 6 – 2 = 4 (ч) – время, встречи 2 автомобиля

Проверка

65*6 = 390 (км)

75*4 = 300 (км)

390 + 300 = 690 (км)

Ответ: 6 ч., 4 ч.

Задача 5

Лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 1,7 ч против течения. Путь, который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она проплыла против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 28 км/ч.

Решение

Полученное уравнение соответствует условию задачи

1,7*(28 – х) – 1,4 *(28+х) = 2,2

47,6 – 1,7х – 39,2 – 1,4х = 2,2

8,4 – 3,1х = 2,2

 – 3,1х = – 6,2

х = 2 (км/ч) – скорость течения реки

Проверка

1,4 * (28+2) = 1,4*30 = 42 (км)

42 + 2,2 = 44,2 (км)

1,7*(28 – 2) = 1,7*26 = 44,2 (км)

Ответ: 2 км/ч

Вы можете проверить себя, пройдя тест по ссылке без регистрации и абсолютно бесплатно

https://onlinetestpad.com/jmxbl4vo24qju

Решение задач с помощью уравнения (уровень А)

Многие задачи можно решить с помощью уравнений, следуя простому алгоритму (порядок действий):

1. Обозначить за х искомое неизвестное (или выбрать из условия величину, которую можно принять за х)
2. Перевести на математический язык условие задачи и составить уравнение
3. Решить полученное уравнение
4. Ответить на вопрос задачи
5. Проверить, соответствует ли полученный ответ условию и смыслу задачи

Как перевести условие задачи на математический язык, оформить ее в формулы и записать уравнение?

Задача 1

Периметр прямоугольника равен 58 см. Длина на 5 см больше ширины. Найдите длины его сторон

Решение

Длина (a) > ширины (b) на 5 см, периметр P=2(a+b) =58 см, тогда полупериметр равен a+b = 58:2 = 29 см

Пусть х – ширина прямоугольника (меньшая из длин сторон)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

2х + 5 = 29

2х = 29 – 5

2х = 24

х = 12 (см), тогда

х+5 = 12+5=17 (см)

Ответ: 12 см, 17 см

Задача 2

В двух бидонах 36 литров молока, причем в первом бидоне в 1,4 раза больше, чем во втором. Сколько молока в каждом бидоне?

Решение

Пусть х л – меньшая из искомых величин – количество молока во втором бидоне (согласитесь, умножать на 1,4 проще, чем делить при составлении уравнения)

Составим уравнение

х+1,4х=36

2,4х=36

х=36:2,4

х= 15 (л) – во втором бидоне, тогда

1,4х = 1,4*15 = 21 (л) – в первом бидоне

Проверка: по условию, всего молока 36 л, 15+21=36 (л)

Ответ: 21л; 15л

Задача 3

В течении года в Солнечном городе облачных дней было на 23 дня больше, чем дней с дождём или снегом, и на 262 меньше, чем солнечных дней. Сколько было солнечных дней на протяжении года, если известно, что он не был високосным?

Решение

Пусть х дней – количество солнечных дней (то, что нужно найти)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х + (х – 262) + (х – 285) = 365

3х – 547 = 365

3х = 365+547

3х = 912

х= 912:3

х= 304 (д)

Проверка:

солнечных дней – 304

облачных дней 304 – 262 = 42

дней с дождем и снегом 304 – 285 = 19

304+42+19 = 365 (д)

Ответ: 304 дня

Задача 4

В первом баке было 55 л масла, а во втором 45 л. После того как из первого бака наполнили 8 бутылей, а из второго 6 таких бутылей, масла в баках стало поровну. Сколько масла входит в одну бутыль?

Решение

Пусть х л – масла входит в 1 бутылку (то, что нужно найти)

Полученное уравнение соответствует условию задачи

55 – 8х = 45 – 6х

-8х + 6х = 45 – 55

- 2х = -10

х = 5 (л) – масла входит в одну бутыль

Проверка:

55 – 8*5 =55 – 40 = 15 (л) – стало в первом баке

45 – 6*5 = 45 – 30 = 15(л) – стало во втором баке

15 = 15 – соответствует условию (стало поровну)

Ответ: 5л

Задача 5 (*)

Сумма двух натуральных чисел 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Решение

Так как сумма двух натуральных чисел 474, то числа или трехзначные, или одно число двухзначное, а другое трехзначное

Полученное уравнение соответствует условию задачи

х + (10 х + 1) = 474

х + 10 х + 1 = 474

11х = 473

х = 473:11

х=43

тогда второе число 10*43 + 1=431

Проверка:

Второе число 431 – по условию, если последнюю цифру зачеркнуть, то получится второе число 431      = 43, сумма 431+43=474

Ответ: 43 и 431

Эту задачу можно решить иначе, не составляя уравнение

Пройти тест "Решение задач с помощью уравнений" можно по ссылке

https://onlinetestpad.com/ajtohpkqjp6he

 Статистические характеристики

1. а) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 7, 3, 5, 0, 1, 3, 6, 4, 2, 3. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

Решение:

Упорядочим данные:

0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

Размах: 7–0=7

Мода: 3 – встречается чаще всего

Медиана: В данном числовом ряду 10 чисел и имеются два числа, находящиеся в середине ряда: 3 и 3. Найдем среднее арифметическое этих чисел  

Среднее арифметическое:   

     б) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 0, 3, 1, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 2. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

2. В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в течении года (по месяцам). Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии, размах приведенного ряда чисел, моду данного ряда чисел, медиану этого ряда чисел.

а)

б)

3. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3а+1, а-3, 2а+8, 2а+6

Решение:

б) 2а-3, 3а-1, 4а+5, 3а+7.

4. а) Среднее арифметическое пяти чисел равно 3,7. К этим числам приписали ещё число 5,5. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Решение:

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=3,7*5

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=18,5

     б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 4,6. К этим числам приписали ещё число 7,0. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.