КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение вида

называется квадратным уравнением, где х – переменная (неизвестная)

a, b, c – некоторые коэффициенты, причем а≠0

а –  коэффициент при х² или старший коэффициент

b – коэффициент при х

с – свободный член.

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении

хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Решения неполных квадратных уравнений приведены в таблице.

Решение полных квадратных уравнений

1. Найти дискриминант по формуле: D = b² – 4ac
2. Сравнить дискриминант с нулем
3. Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Корни уравнения вычисляют по формуле:

             Если D <0, то уравнение корней не имеет.

Рассмотрим решение полного квадратного уравнения - видео по ссылке

Решение КВУР

Пройдите тест по ссылке 

Тест "Квадратные уравнения"

Урок 1. Натуральные числа. Делители натурального числа.

Натуральные числа – это числа, которые мы используем для счета:

1, 2, 3, …, n, ...

         Можно представить, что натуральный ряд – это бесконечная прямая дорога, на которой расставлены метки. На больших дорогах, идущих от крупных городов, обычно стоят столбы, которые отмечают по порядку километры. А мы отметим на бесконечной дороге столбы с натуральными числами, начиная с 1.

В натуральном ряде у каждого числа, кроме первого, имеются два соседних: число, ему предшествующее и число, за ним следующее. Например, соседи числа 3 – это 2 и 4.

         Если обозначить какое-либо натуральное число, большее 1 латинской буквой n,

то предшествующее ему число будет n – 1,

а следующее за ним число n+1.

Что такое делитель натурального числа?

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить 20 яблок между 6 ребятами (не разрезая), то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся.

Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делителем натурально числа n называют такое натуральное число, на которое число n делится без остатка.

Запишем все натуральные делители числа 20.

Такими числами являются 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Чтобы быстро находить делители числа, нужно знать признаки делимости чисел. С признаками делимости чисел познакомимся на следующем уроке.

         Разминка для ума

Задача 1.

Многоголовый змей знает 105 слов, причем каждая голова знает одинаковое количество слов и разные головы не знают одного и того же слова. Сколько голов у змея, если их больше 10, но меньше 20?

Какое наименьшее количество голов нужно использовать змею, чтобы сказать 40 разных известных ему слов?

Задача 2.

Разделите 5 яблок, находящихся в корзине, между пятью друзьями так, чтобы каждый получил по одному яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Урок 2. Признаки делимости

Для того, чтобы написать число, мы пользуемся цифрами.

Всего используется десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0.

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Как известно, классе, чтобы умножить натуральное число на 10, нужно к записи этого числа дописать справа один нуль, например, 137 * 10=1370.

Поскольку 10 является делителем числа 1370, то число 1370 делится на 10. В общем, на 10 делятся все числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Число, запись которого не оканчивается цифрой 0, например, 457, на 10 не делится.

Натуральное число, запись которого оканчивается на 0, делится на 10.

Найдём признак делимости на 5. Для этого разделим на 5 некоторые числа, например, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.

Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 5, а во второй – те, которые не делятся на 5.

 140                       19

 245                       82

 515                       344

 630                       1027

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0 или 5, делится на 5.

Числа, которые делятся на 2 называют четными, а числа, которые не делятся на 2 называют нечетными. Например, 24 – число четное, поскольку оно делится на 2, а число 25 – нечетное, поскольку оно не делится на 2.

Однозначные числа 0, 2, 4, 6, 8 являются четными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 – нечетными. В натуральном ряде четные и нечетные числа чередуются.

Запись каждого числа, которое делится на 2, оканчивается однозначным четным числом. Если запись числа оканчивается однозначным нечетным числом, то оно на делится на 2.

Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным четным числом, делится на 2.

ВПР 7 класс

Вариант 1

1. Вычислите: (−2 + 7.5) : 11.
2. На диаграмме представлена информация о покупках, сделанных в интернет-магазинах некоторого города в выходные дни.

а) Определите по диаграмме, к какой категории относится больше всего совершенных покупок.

б) Определите по диаграмме, какова примерная доля покупок, относящихся к категории «Товары для дома». Ответ дайте в процентах.

3. Автомобиль проезжает 20 метров за каждую секунду. Выразите скорость автомобиля в километрах в час.

4. Тетрадь стоит столько же, сколько линейка и карандаш вместе, а линейка дороже карандаша. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов.

1) Карандаш дороже тетради.

2) Карандаш дешевле линейки.

3) Линейка дороже тетради.

4) Две линейки стоят дороже тетради.

5. Решите уравнение −5x + 20 = −2x − 8(x − 5).

6. Отметьте на координатной прямой точку С (2.11)

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображён треугольник PMR. Отрезок RB - медиана данного треугольника. Найдите длину отрезка PB.

8. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.

9. Из пункта А в направлении пункта Б в 6 часов утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Проехав 160 км, автомобиль сделал остановку на 1 час, а затем с той же скоростью поехал обратно.

На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля нарисован пунктиром, обозначен цифрой 2 и приведён не полностью.

а) Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал велосипедиста.

б) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

10. Найдите значение выражения

 − (m + 1)² +  m² + 16m + 64   при     

11. На рисунке показана плоская фигура, изготовленная из стальной проволоки. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы изготовить фигуру, показанную на рисунке?

12. Решите систему уравнений

Запишите решение и ответ.

13. В 2008 году прибыль некоторой компании увеличилась на 10% по сравнению с 2007 годом, а в 2009 году - на 20% по сравнению с 2008 годом. Найдите, сколько рублей составляла прибыль в 2007 году, если в 2009 году она достигла 594000 р.

Запишите решение и ответ.

14. Параллельные прямые AD и OS пересекают прямую EH в точках R и B соответственно. Угол ERD равен 21°. Найдите угол OBR. Ответ дайте в градусах.

Запишите решение и ответ.

15. Первые 405 км автомобиль ехал со скоростью 81 км/ч, следующие 219 км — со скоростью 73 км/ч, а затем 348 км — со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Запишите решение и ответ.

16. Сторона NH треугольника NHT продолжена за точку H. На продолжении отмечена точка P так, что HT = HP. Найдите величину угла HTP, если угол NTH равен 73°, а угол HNT равен 51°. Ответ дайте в градусах.

Запишите решение и ответ.

17. Найдите натуральное число, большее 760, но меньшее 830, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Запишите решение и ответ.