Дробные рациональные уравнения

Уравнения, в которых обе части являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Например, рациональными являются уравнения а) – д)

а) 3х+4=2(1 – х²)

б)

в)

г)

д)

е)

Рациональные уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями называют целыми уравнениями.

Например, целыми являются уравнения а, б (квадратные уравнения), в знаменателе число, а не выражение с переменной).

Рациональные уравнения, в которых хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробными рациональными уравнениями (в знаменателе есть переменная или выражение с переменной).

Например, такими являются уравнения в) – д)

Уравнение е) содержит иррациональность, и является иррациональным

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2. Найти общий знаменатель этих дробей
3. Умножить все члены данного уравнения на общий знаменатель.
4. Решить получившееся целое уравнение.
5. Из корней этого уравнения исключить те, которые обращают в ноль общий знаменатель данного уравнения.

Рассмотрим следующее уравнение:

Разложим все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители

х² – 25 = (х-5)(х+5)

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение равен: (х-5)(х+5)

Умножим все члены данного уравнения на общий знаменатель при условии, что (х-5)(х+5)≠0, т.е. х≠-5, х≠5

И получим равносильное уравнение

(2х – 8)(х+5) + 10 = (х+4)(х – 5)

2х²+2х – 30 = х² – х – 20

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены

х² + 3х – 10 = 0

Решим получившееся целое уравнение

х= - 5, х=2

Исключим х = -5, т.к. он не удовлетворяет условию (х-5)(х+5)≠0

Значит, корень данного уравнения

х=2

Чертеж на клетчатой бумаге.

         Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами.

В данных задачах размер клетки указан и выполняет роль линейки. Можно посчитав «по клеточкам» найти необходимые длины и решить задачу.

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге

О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Выбрать формулу площади треугольника для чертежа:

Посчитать «по клеточкам» - найти необходимые длины

а = 7 ед.

h = 4 ед.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Используйте клетки как линейку – длина 1 клетки равна 1, значит длина большей диагонали ромба равна 10 клеткам = 10.

Для подготовки к ОГЭ пройди по ссылке

Задачи

1. Спортсмен после серии тренировок улучшил свой результат на 0,25 от исходного результата. На сколько процентов спортсмен улучшил результат?

Решение:

0,25 – 25% На столько процентов спортсмен улучшил результат

Ответ: 25%.

2. За две недели октября средняя дневная температура воздуха понизилась на 30%. Какой она стала если была 20⁰С?

Решение:

30% - 0,3

20*0,3=6

20 – 6 =14

Ответ: 14⁰

3. Сколько литров воды нужно взять, чтобы из 200 г соли приготовить 5% раствор? (Масса 1 литра воды равна 1 кг)

Решение:

Весь раствор – 100%

Содержание вещества в растворе 5%, что соответствует 200 г соли или 0,2 кг

Содержание воды в растворе составит 100% - 5% = 95%

Найдем сколько кг воды соответствует 95%, для этого составим пропорцию

5% - 0,2 кг

95% - х кг

Ответ: 3,8 литра

4. Мотоциклист преодолевает расстояние S км за 10,5 ч. На сколько процентов следует увеличить его скорость, чтобы то же расстояние он преодолел за 8 ч 24 мин?

Решение:

Уравнение движения имеет вид:

Это обратная пропорциональность, значит, при увеличении скорости уменьшается время нахождения в пути.

По условию задачи, путь – величина постоянная, значит, на сколько % уменьшится время t, на столько % должна увеличиться скорость V.

10,5 = 10*60+30 = 600+30= 630 мин

8 ч 24 мин = 8*60+24 = 480+24 = 504 мин

Разница во времени: 630 – 504 = 126 мин

  Здесь делим на 504 мин (8 ч 24 мин) т.к. считаем % увеличения скорости для данного (уменьшенного) времени

Ответ:25%

5. В походе приняли участие 20 девочек и 60 мальчиков. Сколько процентов мальчиков по отношению к общему количеству ребят участвовало в походе?

Решение:

Всего приняли участие в походе: 20+60=80 человек

Мальчиков:

Ответ:75%

6. В новом году зарплата рабочего была увеличена на 20%. Какова теперь зарплата рабочего, если до увеличения она составляла 40000 рублей?

Решение:

20% - 0,2

Увеличение зарплаты на 20%

40000*0,2=8000 рублей

Всего 40000+8000=48000 рублей

Ответ:48000

7. Цена товара составляет 600 рублей. Сколько будет стоить товар, если его цену поднимут на 15%?

15% - 0,15

Увеличение цены на 15%

600*0,15=90 рублей

Всего 600+90=690 рублей

Ответ:690 рублей

8. По расчетам одной группы физиков, масса барионной материи (нейтроны, протоны и электроны) составляет 1/25 массы Вселенной, а по расчетам другой группы физиков, масса всех нейтронов, протонов и электронов во Вселенной составляет 4,5% от всей её массы. Какая группа физиков отводит массе барионной материи большую долю?

Решение:

1/25=0,04

4,5%=0,045

0,04 меньше, чем 0,045

Значит, вторая группа физиков отводит массе барионной материи большую долю

Ответ: вторая

9. Два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов. В этом году количество клиентов в первом филиале увеличилось на 150%, а во втором в 2,5 раза. В каком филиале стало больше клиентов?

Решение:

Пусть N – количество клиентов первого филиала,

150% - 1,5

Увеличение клиентов:  N +1,5 N=2,5N

По условию, два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов, значит:

Увеличение клиентов второго филиала:   2,5N

Количество клиентов осталось одинаково.

Ответ: количество клиентов в обоих филиалах осталось одинаковым.

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить:

2. Найти значение выражения:

Если в под знаком корня есть число, которое можно представить в виде произведения двух чисел и при этом извлечь корень, то надо попробовать это сделать!

В следующем примере используем свойство

3. Решить уравнение

4. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число  

Нужно взять два последовательных числа!

5. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение.

Выражение имеет смысл тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби не равен 0.

Для самостоятельного решения

Медиана как статистическая характеристика

Рассмотрим ещё одну статистическую характеристику.

Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 9 квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа от него записано 4 числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведем другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили десятую. Получили такую таблицу:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел

(78+82):2= 80. Число 80 не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы – слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять  членов ряда:                                                       64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

Говорят, что медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное по середине,

а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посредине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда чисел

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n-1 членов, то медианой ряда называется n-й член, так как n-1 членов стоит до n-го члена и n-1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n и  n+1 местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит среднее значение, т.е. медиану.

Рассмотрим еще пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17 и 18 членов, т.е. равна (3+4):2=3,5.

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как половину всех сотрудников составляют те, которые приобрели не более 3 акций.

Вообще среднее арифметическое зависит от значений всех членов в упорядоченном ряду данных, в том числе и от значений крайних членов, которые часто бывают наименее характерными для рассматриваемой совокупности данных. Поэтому при анализе данных сведения о среднем арифметическом часто дополняются указанием медианы.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике, при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют какой-либо из этих показателей, либо два из них, либо даже все три.

Пособие предназначено для экспертов, поэтому обратите внимание на оформление ответов. Это, возможно, поможет добавить балл

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 194/64 R14

Первое число - это ширина шины, в данном случае 194 мм

второе число - высота - % от ширины шины, 
в данном случае 64% от 194 мм 
64% это 0,64 тогда высота Н=194*0,64

Последнее число - диаметр диска автомобиля (на него устанавливают шину)
Диаметр d записан в дюймах, 1 дюйм = 24,5 мм
тогда d=14*24,5

участок, расчет плитки, расчет отопления