УРОК 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим неравенство f(x) v 0

f(x) – функция, зависящая от переменной х

v – знак сравнения (>, <, ≥, ≤)

Решением этого неравенства (или частным решением) называют такое значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) v 0 в верное числовое неравенство.

Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или решением) неравенства.

Например,

2х – 3 ≥ 0

Являются ли числа 3; 1,6    – частным   решением данного неравенства?

Для ответа на этот вопрос необходимо подставить эти решения в данное неравенство

х = 3 => 2*3 – 3 ≥ 0 => 6 – 3 ≥ 0 => 3 ≥ 0

х =1,6 => 2*1,6 – 3 ≥ 0 => 3,2 – 3 ≥ 0 => 0,2 ≥ 0

Решив неравенство 2х – 3 ≥ 0, найдем общее решение.

Числа х, удовлетворяющие условию х ≥ 1,5 являются общим решением данного неравенства (куда смотрит уголок знака, та часть числовой прямой  и заштриховывается)

РАВНОСИЛЬНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ

Два неравенства f(x) v g(x)  и  r(x) v s(x)  называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют

(любое частное решение первого неравенства является частным решением второго и наоборот).

При решении сложное неравенство заменяют на равносильное ему более простое. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Для этих преобразований используют три правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства, например:

3х + 4 < х²    равносильно неравенству: - х² + 3х + 4 < 0 (перенесли х² в левую часть с противоположным знаком и знак неравенства сохранили)

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства,

например:

16х + 8 < 20х²   равносильно неравенству 4х + 2 < 5х² (обе части неравенства разделили на 4, знак неравенства сохранили).

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак неравенства,

то получим неравенство, равносильное данному, например:

 , умножим левую и правую часть неравенства на выражение

   - положительное при любых значениях х, получим равносильное неравенство

2х – 3 ≥ 0 (знак неравенства сохраняется)

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, например:

- 3х² - 5х + 1 ≥ 0, равносильно неравенству

  3х² + 5х - 1 ≤ 0, т.к. обе части первого неравенства умножили на отрицательное число (-1) и изменили знак неравенства на противоположный.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х,

и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному,

например (– х⁴ – 1 )(2х – 3) ≥ 0

Разделим обе части неравенства на  выражение

р(х) = (– х⁴ – 1) = –  ( х⁴ + 1), отрицательное при всех значениях х,

тогда неравенству (– х⁴ – 1)(2х – 3) ≥ 0

равносильно неравенство  2х – 3 ≤ 0, т.к. разделили на отрицательное число и знак неравенства поменяли.

Только при соблюдении этих условий получаются равносильные неравенства, например:

Неравенство

  , неравносильно неравенству 2х – 3 ≥ 0 , т.к. выражение

р(х) = (х²–1) в зависимости от переменной х может иметь и положительный и отрицательный знак, поэтому просто умножить обе части неравенства на выражение

р(х) = (х² – 1) нельзя.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств

УРОК 2

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенство f(x) v 0 называют по типу функции  f(x). Линейным неравенством называют неравенство вида ax + b v 0, т.к. функция f(x) = ax + b – линейная.

Рассмотрим несколько примеров

1. Открытый банк данных заданий ОГЭ/ Математика

Перенесем в левую часть неравенства члены, содержащие х, а числа соберём в правой части:

– х – х ≥ – 6 + 3 (при этом изменив знаки таких членов и чисел на противоположные, а знак неравенства сохраняем)

В каждой части неравенства приведем подобные члены:

– 2х ≥ – 3

Чтобы найти решение, разделим обе части неравенства на  отрицательное число (– 2), при этом поменяем знак неравенства:

х ≤ 1,5

           (куда указывает носик знака – это и есть решение)

Ответ: 1)

2. Неравенство

Избавимся от знаменателей дробей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей дробей

НОК (6, 3, 2) = 6, число положительное, значит знак неравенства сохраняется

получим равносильное неравенство

2х – 7 + 2(7х – 2) ≤ 18 – 3(1 – х)    раскрываем скобки

2х – 7 + 14х – 4 ≤ 18 – 3 + 3х  приводим подобные слагаемые

16х – 11 ≤ 15 + 3х     переносим, члены, содержащие х в левую часть неравенства, числа – в правую часть, при этом поменяв их знаки на противоположные, и сохраним знак неравенства

16х – 3х ≤ 15 + 11 приводим подобные слагаемые

13х ≤ 26     разделим обе части неравенства на положительное число 13  и получим

х ≤ 2 

3. Двойное линейное неравенство

Из всех частей неравенства вычтем число 3 и сохраним знаки неравенства

Умножим все части неравенства на отрицательное число    и изменим знаки неравенства на противоположные:

  получим равносильное неравенство

  или

УРОК 3

КВАДРАТНЫЕ (КВАДРАТИЧНЫЕ) НЕРАВЕНСТВА

Квадратным (квадратичным) неравенством называют неравенство вида

ax² + bx + c  v  0, так как функция f(x) = ax² + bx + c  квадратная или квадратичная.

Один из способов решения квадратных неравенств с помощью графика

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1. Определяют направление ветвей параболы: при a>0 – вверх, при a<0 – вниз;
2. Находят дискриминант D = b² – 4ac квадратного трехчлена

ax² + bx + c и определяют, имеет ли трехчлен корни (D≥0 – имеет корни, D<0 – не имеет корней);

3. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси абсцисс. Построить эскиз параболы с учетом направления ветвей.

Если трехчлен не имеет корней, построить эскиз параболы, расположенной в верхней полуплоскости при a>0 и в нижней полуплоскости при a<0, 

с учетом направления ветвей;

4. Находят на оси х промежутки, для которых выполнено данное неравенство.

Решить неравенство:

Рассмотрим функцию 

1. а = 6 > 0 – ветви параболы направлены вверх
2. D = b² – 4ac = (-1)² – 4*6*(-1) = 25 > 0 – имеет 2 корня

3. Эскиз параболы  

4. Функция      принимает неположительные значения на промежутке     (часть графика расположена под осью ОХ), промежуток   является решением данного неравенства.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию    

1.      – ветви параболы направлены вниз
2. Найдем корни уравнения   умножим обе части уравнения на 3, получим    , отсюда

х = 3 – единственный корень. Парабола касается оси абсцисс в точке х = 3

3. Эскиз параболы

4. Функция     принимает неотрицательное значение только в одной точке х = 3, поэтому данное неравенство имеет единственное решение х = 3.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию  

Раскроем знак модуля:

При  , ветви параболы направлены вверх, х₁ = -1, х₂ = 3

При  , участок параболы АВ отображаем зеркально вниз и получаем график функции

Неравенство   выполняется для отдельной точки х = -1 и в промежутке  

Решение неравенства   

Обратите внимание на форму записи ответа. Ответ принято записывать в виде числовых промежутков в порядке возрастания.

УРОК 4

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств – метод интервалов

Решить неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0

1. Найти корни уравнения х² + 2х – 3 = 0, х₁ = - 3 и х₂ = 1
2. на числовой оси отметить корни уравнения

Эти точки разбили числовую ось на три промежутка:

3. определить знак выражения на промежутках:

при х = 0, выражение х² + 2х – 3 = - 3 < 0, при переходе к следующему промежутку знак меняется (чередование знака)

выделить штриховкой промежуток, где неравенство

х² + 2х – 3 ≤ 0 выполняется

4. записать ответ

Решить неравенство

Выражение уже разложено на множители, найдем корни выражения

отметим на числовой прямой  и определим знак выражения на каждом промежутке

Решением неравенства

являются промежутки        

Решить неравенство

При решении неравенства методом интервалов важно знать четность степени многочленов, входящих в неравенство.

В разложение многочлена на множители входит сомножитель (х – х₀)^k

х₀ – корень многочлена кратности k, если

k – четное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется)

k – нечетное, то при переходе через х₀ интервал справа и слева имеет противоположный знак (т.е. знак многочлена меняется)

Разберем на примере нашего неравенства

(х + 5)⁸ , где х₀ = - 5, кратность степени k=8 – четная

(х + 2)³  , где х₀ = - 2, кратность степени k=3 – нечетная

х , где  х₀ = 0, кратность степени k=1 – нечетная

(х – 1)²  , где х₀ = 1, кратность степени k=2 – четная

(х – 3)⁷ , где х₀ = 3, кратность  степени k=7 – нечетная

Нанесем корни на числовую ось и отметим буквами четность кратности этих корней: Ч – четная, Н – нечетная

Используя четность кратности корней, отметим знаки в промежутках

Находим при каких х многочлен неотрицательный, решение неравенства

Если неравенство не имеет вида, как в данных примерах, то неравенство надо привести к данному виду, используя те или иные приемы, соблюдая правила равносильности неравенств

Решить неравенство

Перенесем все в левую часть и разложим многочлен в левой части на множители

Представим в виде: - 7х = - 6х – х  и сгруппируем члены многочлена

Находим корни и разложим на множители

х = - 3 и х = 2, тогда х² + х – 6 = (х + 3)(х – 2), окончательно получаем

Все корни многочлена первой кратности, при переходе через корни знак промежутка меняется

Ответ