Множество, подмножество, примеры множеств.

В математике некоторые понятия являются неопределяемыми (первичными). К ним относится понятие множества (например, в «Алисе в Стране чудес»: «Множество чего? – А ничего, просто множество»).

Множество – группа или набор объектов (предметов), обладающих каким-либо общим для всех них свойством или признаком.

Это утверждение не является определением, а лишь разъяснением. Множество – начальное понятие (как, например, точка, число), на основании которого строятся остальные понятия математики.

Множества можно составлять из различных объектов, как материальных, так и абстрактных, объединенных на основе самых различных признаков, содержащих различное количество элементов.

Под элементами множества в математике понимают объекты, составляющие множество.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы списком, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.

Описать множество можно словами, например,

B – множество планет солнечной системы.

Тогда

B = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер Сатурн, Уран, Нептун, Плутон(*)}.

(*) Плутон считался девятой планетой нашей звездной системы с момента открытия 1930 г. и до 2006 года.

Порядком множества называется число его элементов. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его порядком называется количество элементов. Если множество содержит бесконечное число элементов, оно называется бесконечным. Из бесконечных множеств можно выделить множества, элементы которых можно пронумеровать (множество натуральных чисел, множество, состоящее из членов арифметической или геометрической прогрессии, и т.д.) – счетные множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, а их элементы – строчными a, b, c, ….

Принадлежность элемента множеству записывают a ∈ A.

Пустое множество – множество, не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается .

Рассмотрим некоторые примеры множеств.

1. Множество натуральных чисел: {1, 2, 3....}. Множество содержит бесконечное число элементов.
2. Множество всех делителей числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Конечное множество, содержащее 6 элементов.
3. Множество всех выпуклых четырёхугольников. Множество содержит бесконечное число элементов. Несчётное множество.
4. Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения х² = -1. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество его решений – пустое.

Числовые множества.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Применяются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел. Множество N содержит числа, используемые для счета (целые положительные числа);

Z – множество целых чисел. Множество Z содержит целые отрицательные числа, 0, целые положительные числа;

Q – множество рациональных чисел {m/n | m ∈ Z;  n ∈ N}, состоящее из дробей, в числителе которых стоит целое число, а в знаменателе – натуральное.

R – множество действительных чисел. Множество действительных чисел R называется числовой прямой и обозначается (–∞; +∞).

Наглядную иллюстрацию множеств дают диаграммы   Эйлера- Венна, в которых элементы множеств изображаются точками некоторых кругов.

Множество А называется подмножеством множества B (A ⊂ B), если любой элемент множества  А принадлежит множеству В.

• любое множество, есть подмножество самого себя,
• пустое множество является подмножеством любого множества

• если A ⊂ B и В ⊂  А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А = В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

• если A ⊂  B и В ⊂   А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А =В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

Действия с множествами

Пусть даны множества А и В.

Объединением множеств А и В называется множество С (А U В = С), элементы которого являются элементами   А или элементами В.

Пересечением множеств А и В называется множество С (А∩ В = С), элементы которого являются элементами  А и элементами В одновременно.

Разностью множеств  А и В называется множество С (А\В = С), элементы которого являются элементами  А и не принадлежат В.

Примеры:

Практическая работа

Дано:

A={1; 2; 3; 5; 7; 10}

B={3; 4; 6; 9; 10}

C={2; 5; 7; 9; 11}

Найти:

Пройдите тест

ссылка на тест