Прогрессии. Геометрическая прогрессия

Подготовка к ОГЭ

Сумма первых n-членов геометрической прогрессии.

 Геометрической прогрессией называется числовая последовательность (bn), первый член которой отличен от нуля, а любой другой её член равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности отличное от нуля число q, называемое знаменателем прогрессии.

Таким образом, в отличие от определения арифметической прогрессии, определение геометрической прогрессии содержит ограничения на оба её базовых элемента: b1≠0, q≠0.

Из определения геометрической прогрессии следует и то, что любой её член отличен от нуля. Таким образом, для того чтобы однозначно определить геометрическую прогрессию, достаточно знать какой-то её член и знаменатель, т. е. геометрическая прогрессия, как и арифметическая, задаётся двумя элементами.

В самых простых и стандартных случаях это первый член прогрессии и её знаменатель. В более сложных задачах по данным условия можно составить два равенства (уравнения), которые позволят найти b1 и q, а уже затем с их помощью вычислить искомую величину.

Определение геометрической прогрессии позволяет  найти формулу её n-го члена bn = b1 · qn-1 и формулу суммы Sn её первых n членов

Если q<1, то формулу лучше применять в виде

Если же знаменатель геометрической прогрессии равен 1 (q=1), то все её члены равны первому и Sn =n · b1

Задача1.

Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (bn), если bn = 3∙2n

Решение:

b1 = 3∙21=6

   

 

Ответ: 1530

 

Задача 2.

Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (bn), если b4 = 9,  b5 = 27

Решение:

   

b4 = b1 · 34-1 = 9

b1 · 33 = 9

  

 

Ответ:  

 

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=n.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии выражается формулой

Задача 1.

Найти сумму  

Решение:

  

b=1

  

  

Ответ: 3

Задача 2.

Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 5,(4) в виде обыкновенной дроби.

Решение:

Запишем данное число в виде:

 

В скобках записана сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем  

Тогда по формуле

  получим  

Значит  

Ответ: