Фракталы - геометрия красоты

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) – представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Природа всегда поражала исследователей своей красотой и необычайностью своих изобретений. Фракталы - одно из чудес природы, о котором слышали немногие.

 В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты). Также фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки нефтегазовых месторождений.

Глава 1. Понятие «фрактал»

    1. История возникновения

Благодаря Мандельброту науке стало известно, как выглядит четырехмерное пространство. Оказалось, что четвертое измерение включает в себя помимо первых трех измерений, еще и интервалы между ними. В 1977 году в свет вышла книга The Fractal Geometry of Nature”, после чего термин получил широкое распространение и заинтересовал не только специалистов, но и людей далеких от науки.

В своей книге Б.Мандельброт [3, с.15] писал: «Почему геометрию называют сухой и холодной? Одна из причин заключается в неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -это не сферы, горы-это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой…» Бенуа Мандельброт предложил рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и через увеличительное стекло. Во всех случаях узор будет одним и тем же, но только разного масштаба.

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена  на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Стоит отметить, что слово «фрактал» не является математическим понятием, так же оно не имеет общепринятого строго математического определения.

Данный термин может употребляться, когда речь идет о фигуре, обладающей нижеописанными свойствами:

- фигура обладает сложной структурой при любом увеличении

- фигура является само подобной или (приближенно) само подобной

- фигура обладает дробной метрической размерностью, которая больше топологической

- фигура может быть построена рекурсивными (повторяющимися) процедурами

Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а также сделала возможной сжатие цифровых изображений. Фракталы широко применяются в компьютерной графике – при построении изображений деревьев, поверхности морей, горных ландшафтов, и других природных объектов. Интересно, что кроме фрактальной «живописи» существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. Фрактал, построенный по математической формуле не менее красив, чем природный.

    1. Классификация фракталов

Все фракталы делятся на группы. Самые крупные из них:

- алгебраические

- геометрические

- стохастические

Алгебраические. Первая группа фракталов называется алгебраической. Представители этой группы строятся на основе алгебраических формул (иногда самых простых).

Есть несколько способов получения данных фракталов:

  1. фрактал Мандельброта
  2. фрактал Ньютона
  3. множество Жюлия

Рассмотрим, к примеру множество Мандельброта (рисунок 1).

Визуально множество Мандельброта выглядит как набор бесконечного количества различных фигур, самая крупная из них называется кардиоидой (она похожа на стилизованное изображение сердца и получила свое название от двух греческих слов — «сердце» и «вид»). Кардиоида окружена всё уменьшающимися кругами, каждый из которых окружен еще меньшими кругами, и т. д. до бесконечности. При любом увеличении данного фрактала будут выявляться всё более и более мелкие детали изображения, дополнительные ветки с более мелкими кардиоидами, кругами. И этот процесс можно продолжать бесконечно.

 Фрактал Мандельброта

Геометрические. Следующая группа носит название геометрических фракталов. По сути, именно с нее началась история фракталов. Фрактал получают с помощью какой-либо прямой, которая называется генератором. Генератор на основе правил создает нулевое поколение, после бесконечное повторение процедуры позволяет получить фрактал геометрической структуры.

Рис. 2. Кривая Коха

Последней крупной группой служат стохастические фракталы. Пожалуй, это самый привлекательный вид объектов. Такие фракталы получаются путем замены каких-либо параметров. По итогу же мы можем получить объекты, которые будут напоминать деревья, лишенные симметрии или же изрезанные береговые линии, модели рельефов местности (рисунок 3).

Стохастические фракталы

Рис.3а

Рис.3б