Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII века Лейбницем, состоит в следующем:

Значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику

функции в той же точке x, т.е.                k = f ’(x) = tg φ

Рассмотрим задачу.

Определение: прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной,

называется нормалью к кривой в этой точке.

Если кривая определена уравнением  , то уравнение касательной к ней в точке   

имеет вид:

а уравнение нормали:

Как Вы заметили нам нужно найти производную, чтобы написать уравнение касательной или нормали. 

Операцию отыскания производной некоторой функции называется дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, - дифференциальным исчислением. Если функция имеет производную в точке х=а, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Существуют общие правила нахождения производной:

(в пояснении   – это у(x +∆x)  )

Применим эти правила и найдем производную функции y=5x

1. y(x +∆x)  = 5(x +∆x) = 5x + 5∆x
2. ∆y = y(x +∆x) –  y(x) = (5x + 5∆x) – 5x = 5∆x
3.    =   = 5
4. 

Таким образом, мы нашли производную функции, пользуясь непосредственным определением производной.

Но это не очень удобно, хотя и позволяет вычислить производную любой элементарной функции.

Вспомним, элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа

арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция 

с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные

тригонометрические функции.

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать

Правило 1 (производная от произведения числа на функцию).

Справедливо равенство            (c f (x))' = c f ' (x) , где  c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций).

Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций).

Производная разности функций вычисляется по формуле 

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций).

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции,

умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

Правило 5 (производная частного двух функций).

Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле