Комплексные числа

Числа вида z=a+bi, где  a и b – действительные числа, а  i – мнимая единица называются комплексными

i – мнимая единица

i² = -1,

i

Рассмотрим степени числа i

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = - i

i⁴ = i² * i² = -1 * (-1) = 1

Данная последовательность степеней числа i повторяется

Используя закономерность, легко найти значение степени числа i

Задачи на нахождение значения степени i

Найти i²⁸

Найти i³³

Найти i¹³⁵

Найти i⁶⁶

Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)

bi – мнимая часть комплексного числа (Im z)

b – коэффициент при мнимой части

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа

Противоположные комплексные числа: z=a + bi     и    –z= – a – bi

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

z₁=2 + 3i

z₂=5 – 7i

1. Сложение

сложить действительные и мнимые части чисел

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i

2. Вычитание

вычесть действительные и мнимые части

z₁ –  z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = - 3 + 10i

3. Умножение

по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)

z₁ * z₂ = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i

 (– 21i²) = - 21 *(-1) т.к. i² = -1

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью

4. Деление

Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,

сопряженное делителю, например:

При решении учитываем i² = -1

Следующий пример:

Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный

На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни

Пример:

Решить уравнение на множестве комплексных чисел

Таким образом, уравнение        на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:  

Решить уравнение:

Действия над комплексными числами (в тригонометрической и показательной форме)

  – тригонометрическая форма записи комплексного числа

  – показательная форма записи комплексного числа

(Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие))

При решении примеров надо знать значения тригонометрических функций. Как найти значения тригонометрических функций► пройди по ссылке⇒

https://math4everyone.info/math/kak-najti-znacheniya-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa-s-pomoshyu-edinichnoj-okruzhnosti/

Примеры

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу

 , где r = 1 поставить в соответствие показательное выражение      ,

то получим соотношение

  – которое называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число z можно записать в виде

Это - показательная форма записи комплексного числа 

Существует три формы записи комплексного числа:

  - алгебраическая форма

  - тригонометрическая форма

  - показательная форма

Как записать комплексное число в показательной форме?

Если комплексное число записано в тригонометрической форме, то поступим следующим образом:

Записать комплексное число z=-5i  в тригонометрической и показательной формах

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Записать комплексное число в алгебраической и показательной формах

Записать комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах

Как изобразить комплексное число на координатной плоскости

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой Z с координатами (a;b)

Действительные часть числа координата Х=а откладывается по оси абсцисс – ОХ (действительная ось),

мнимая часть числа координата У=b по оси ОУ (мнимая ось)

Комплексное число также можно изобразить в виде вектора        с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора   с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Модуль комплексного числа – это длина вектора  , которую можно найти по формуле

Аргумент комплексного числа – это угол ᵠ , который образует вектор  с положительным направлением оси абсцисс (ОХ)

Величину этого угла можно найти из соотношений в прямоугольном треугольнике

Из соотношений следует    

Тогда мы получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

Окончательно

Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

1. Найти модуль комплексного числа r

2. Определить в какой четверти координатной плоскости находится точка Z, чтобы найти ᵠ

3. Составить уравнение                 и найти угол ᵠ
4. Записать комплексное число z в тригонометрической форме

Например:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a=1, b= - 1

Точка Z находится в IV четверти

Этим соотношениям соответствует в IV четверти угол     

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a= -1, b=   

Точка Z находится во II четверти

Этим соотношениям соответствует во II четверти угол      или 120^о

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

   или   

Для самоподготовки

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)