Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину А(3;-1), а также уравнение биссектрисы х-4у+10=0 и медианы 6х+10у-59=0, проведенных из различных вершин.

Найдем координаты точки С

Т.к. BD – медиана, то координаты точки D можно найти как координаты середины отрезка:

Подставим полученные точки в уравнение медианы 6х+10у-59=0

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Т.к. АС∩CL в точке С, найдем координаты точки С из решения системы

Точка имеет координаты С(10;5)

Составим уравнение прямой АС, проходящей через точку А(3;-1) и точку С(10;5) по формуле

Сторона АС: 6х-7у-25=0

Составим уравнение прямой ВС, наклоненной к прямой АС под углом 2γ

Т.к. CL – биссектриса угла С (угол 2γ), то найдем tg γ при пересекающихся прямых AC и CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

По формуле тангенса двойного аргумента (тригонометрия)

  - тангенс угла между прямыми АС и ВС

Найдем k прямой ВС из равенства:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Составим уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны ВС: 2х+9у-65=0

Т.к. ВС∩BD в точке B, найдем координаты точки B из решения системы:

Зная координаты точки В, напишем уравнение стороны АВ:

18х+13у-41=0 уравнение стороны АВ

(Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник)