Действия над комплексными числами (в тригонометрической и показательной форме)

  – тригонометрическая форма записи комплексного числа

  – показательная форма записи комплексного числа

(Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие))

При решении примеров надо знать значения тригонометрических функций. Как найти значения тригонометрических функций► пройди по ссылке⇒

https://math4everyone.info/math/kak-najti-znacheniya-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa-s-pomoshyu-edinichnoj-okruzhnosti/

Примеры

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Как изобразить комплексное число на координатной плоскости

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой Z с координатами (a;b)

Действительные часть числа координата Х=а откладывается по оси абсцисс – ОХ (действительная ось),

мнимая часть числа координата У=b по оси ОУ (мнимая ось)

Комплексное число также можно изобразить в виде вектора        с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора   с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Модуль комплексного числа – это длина вектора  , которую можно найти по формуле

Аргумент комплексного числа – это угол ᵠ , который образует вектор  с положительным направлением оси абсцисс (ОХ)

Величину этого угла можно найти из соотношений в прямоугольном треугольнике

Из соотношений следует    

Тогда мы получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

Окончательно

Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

1. Найти модуль комплексного числа r

2. Определить в какой четверти координатной плоскости находится точка Z, чтобы найти ᵠ

3. Составить уравнение                 и найти угол ᵠ
4. Записать комплексное число z в тригонометрической форме

Например:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a=1, b= - 1

Точка Z находится в IV четверти

Этим соотношениям соответствует в IV четверти угол     

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a= -1, b=   

Точка Z находится во II четверти

Этим соотношениям соответствует во II четверти угол      или 120^о

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

   или   

Для самоподготовки

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

 Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Определение числовой последовательности

Числа  - элементы или члены последовательности (1)

Символ  - общий член последовательности,

А число n – его номер (1, 2, 3, 4, …, n, …)

Сокращенно последовательность (1) обозначается 

Формула, задающая  , называется формулой общего элемента (или члена)последовательности 

Например, последовательность  задана формулой = . С помощью этих формул можно вычислить любой элемент

последовательности: =1, =4, =9, …,  =100 и т.д.

Вычислите:

Можно, зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу для общего элемента последовательности,

например: 1, , , , …, т.е. знаменатели данной последовательности образуют последовательность из квадратов нечетных

натуральных чисел, следовательно, можно выбрать формулу:

Формула, задающая  не является единственной.

Последовательность  является заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Часто используется рекуррентный способ задания последовательности :

1. дается первый элемент последовательности или несколько первых элементов;

2. формула (или рекуррентное соотношение), указывающая, какие действия нужно выполнить, чтобы вычислить следующий элемент,

или несколько следующих элементов.

Таким образом, чтобы задать последовательность, недостаточно написать только рекуррентное соотношение, необходимо указать

также начальные члены последовательности.

Действия над последовательностями:

учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ.

учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

При вычислении производных  применяются следующие правила:     Видеоразбор на канале в Телеграмм

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Например:

2. Производная суммы и разности функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

3. Производная произведения функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

4. Производная частного двух функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному

числу n поставлено в соответствие действительное число  .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена

т.е.  для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x_{n  ,}  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, 

если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена

т.е. для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_n +1 < x_n , например, последовательность   заданная формулой   

 является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

• Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными  последовательностями.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

• Числовую последовательность   x₁ ,  x₂ , … x_n , … называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m: для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.  Однако эта последовательность неограничена сверху.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность    заданная формулой   является ограниченной последовательностью,

поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство   

•  Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

• Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого

положительного числа   ε>0   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовлй последовательности    a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

(читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать

следующим образом: a_n → a   при  (читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при ,

то эта последовательность ограничена

Свойства пределов различных последовательностей

Последовательность  a₁ ,  a₂ , … a_n , … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C  

найдется такое натуральное число   N,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … , стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения         или с помощью

обозначения  при 

1.  Для любого числа   k > 0   справедливо равенство  

2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство   

3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство         

4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство             

5 . Последовательность – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена  a_n = (– 1)ⁿ , предела не имеет.

      Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при    существуют такие числа   a   и   b ,  что

   и   

 существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

 Если, кроме того, выполнено условие      то при  существует предел дроби     причем

Нахождение пределов числовых последовательностей

Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремится к 

то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 

Часто неопределенность типа  удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки

«самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены,

«самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби,

а также, используя свойства пределов последовательностей    при |а|<1,  получаем

      Ответ. 

Задача 

Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону

 , где s(t) измеряется в метрах, а время t в секундах.

Найти:

а) Скорость тела в начальный момент;

б) Скорость тела в момент соприкосновения с землей;

в) Наибольшую высоту подъема тела.

Решение:

Тело движется по параболе, это очевидно, т.к. уравнение, которое описывает движение тела – уравнение параболы (уравнение движения).

а) Скорость тела в начальный момент момент равна первой производной от пути, который описывается уравнением  

В момент t=0,

б) В момент соприкосновения с землей       

 т.е. решаем уравнение  

получаем:   , второй корень нам не подходит по смыслу, т.к. время t не может быть отрицательным в классической физике.

Значит, скорость в момент

 м/с

(минус указывает на то, что скорость тела в момент времени

 противоположна направлению начальной скорости.

в) Наибольшая  высота подъема   будет в момент, когда скорость тела равна нулю (в точке максимума функции) и происходит переход от подъема тела к спуску

(переход от возрастания функции к ее убыванию, критическая точка, в которой производная функции равна 0)

,  t = 0,8 с.

Подставляем в уравнение движения

Значит, наибольшая высота подъема равна 8,2 м.

Видеоразбор задачи на канале Телеграмм

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

1. Найдем производную функции:  
2. Приравняем производную к нулю для определения точек экстремума на отрезке:

      Значит, критические точки   

3. Определим, принадлежат ли критические точки отрезку :

Обе точки принадлежат данному отрезку.

(Если точки не принадлежат отрезку, то значение функции находят только на концах отрезка!)

4. Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка и сравним результаты:

   ;

Значит, наибольшее значение функции

 а наименьшее значение функции

Ответ:

Составить уравнение сторон треугольника, зная одну его вершину А(3;-1), а также уравнение биссектрисы х-4у+10=0 и медианы 6х+10у-59=0, проведенных из различных вершин.

Найдем координаты точки С

Т.к. BD – медиана, то координаты точки D можно найти как координаты середины отрезка:

Подставим полученные точки в уравнение медианы 6х+10у-59=0

6()+10()-59=0

3х_с+5у_с-55=0

Т.к. АС∩CL в точке С, найдем координаты точки С из решения системы

Точка имеет координаты С(10;5)

Составим уравнение прямой АС, проходящей через точку А(3;-1) и точку С(10;5) по формуле

Сторона АС: 6х-7у-25=0

Составим уравнение прямой ВС, наклоненной к прямой АС под углом 2γ

Т.к. CL – биссектриса угла С (угол 2γ), то найдем tg γ при пересекающихся прямых AC и CL

АС: 6х-7у-25=0; у=6/7х – 25/7, k_AC=6/7

CL: х-4у+10=0; у=1/4х + 10/4, k_CL=1/4

По формуле тангенса двойного аргумента (тригонометрия)

  - тангенс угла между прямыми АС и ВС

Найдем k прямой ВС из равенства:

18 – 21 k_BC=28+24 k_BC

k_BC= -2/9

Составим уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны ВС: 2х+9у-65=0

Т.к. ВС∩BD в точке B, найдем координаты точки B из решения системы:

Зная координаты точки В, напишем уравнение стороны АВ:

18х+13у-41=0 уравнение стороны АВ

(Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В. Клетеник)

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Действия с приближенными числами. Погрешности