Среднее арифметическое, размах и мода

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Имея этот ряд данных, можно определить сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и сумму разделить на 12.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем по  27 мин. Проводя аналогичные наблюдения за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течении недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т.п. Заметим, что для серьёзных выводов о загруженности учащихся домашними заданиями необходимо выделить для наблюдений значительно большую группу, чем 12 человек (учащихся).

Среднее арифметическое представляет собой то значение величины, которое получается, когда сумма всех наблюдений мысленно распределяется поровну между единицами наблюдения.

Например, выделив среднее арифметическое удоев молока, полученных за сутки на ферме от всех коров, мы найдём тот удой, который получили бы за сутки от одной коровы, если бы все коровы давали одинаковое количество молока, то есть найдём среднесуточный удой молока на ферме от одной коровы.

Аналогично находят среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, среднюю выработку рабочего бригады за смену и т.п.

Вместе с тем, иногда вычисление среднего арифметического не дает полезной информации.

Например, целесообразно использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве, средний размер обуви, которую носят учащиеся школы.

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 мин., т.е. среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин., а наименьший - 18 мин.

Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19. 

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течении суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебания температуры в течении этих суток.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичными для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего.

Нетрудно заметить, что таким числом является число 25 - мода рассматриваемого ряда.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 53, 47, 52

две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа - менее трех раз.

В ряду чисел

69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72

моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.

Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Среднее арифметическое в этом случае не дает полезной информации.

Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространенной на рынке, и т.п.

Рассмотрим ещё пример. Пусть проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.      Получим

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

Вычислим среднее арифметическое:

 - 37 (приблизительно)

Размах ряда равен 39-35=4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.

Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

Среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из чисел ряда, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.

Кроме того, в отличии от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным.

Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающих, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из телевизионных развлекательных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Слово «статистика» происходить от латинского слова «status», которое означает «состояние, положение вещей».

Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, перевозку грузов и пассажиров отдельными видами транспорта, природные ресурсы и т.п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.