Многие текстовые задачи (особенно на движение и совместную работу) сводятся к решению дробных рациональных уравнений.

Задача 1

Грузовик остановился для заправки горючим на 24 мин. Увеличив свою скорость на 10 км/ч, он наверстал потерянное время на расстоянии 80 км. С какой скоростью двигался грузовик после остановки?

Решение:

Возьмем расстояние, которое проехал грузовик – 80 км и составим таблицу:

Пусть х км/ч первоначальная скорость грузовика.

Тогда 80 км он проехал бы за время      (ч).

На самом деле грузовик сначала задержался на 24 мин.

Обязательно перевести минуты в часы  

Потом он увеличил скорость на 10 км/ч и стал двигаться со скоростью

(х + 10) км/ч.

Тогда 80 км он преодолел за   и компенсировал потерянное время

Получили дробное рациональное уравнение.

Решим его:

Общий знаменатель дробей 5х(х+10)

   - умножим все члены уравнения на общий знаменатель дробей при условии, что он неравен 0, (х≠0, х≠-10) и получим

80*5х+2х(х+10) =80*5(х+10)

Перенесем все члены уравнения левую часть, приведем подобные слагаемые

2х²+20х – 4000=0

х²+10х – 2000=0

х₁=-50 – не удовлетворяет условию (скорость автомобиля)

х₂= 40

Тогда скорость грузовика после остановки

х+10 = 40+10=50 (км/ч)

Ответ: 50

Задача 2

Один кран наполняет бассейн на 6 ч быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно?

Решение:

Пусть один кран наполнит бассейн за х ч.,

тогда другой кран – за (х + 6) ч.

Пусть объем бассейна составляет V л. Примем объем бассейна за 1

Тогда первый кран в час  наливает в бассейн   л,

второй кран   л. Вместе в час они наливают  л.

Эти краны наполняют бассейн за 4 ч и в час наливают в него  л.

Поэтому получаем дробное рациональное уравнение

Решим его.

Общий знаменатель 4х(х+6), умножим все части полученного уравнения на общий знаменатель, при условии, что он неравен нулю х≠0,  х≠-6

4(х+6) + 4х = х(х+6)

перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые

– х² + 2х+24=0 |*(-1)

 х² –  2х – 24=0

х= - 4 (не удовлетворяет условию)

х= 6

Значит, 1 кран наполнит бассейн, работая один за 6 ч.,

второй кран

(х+6) = 6+6 = 12 ч.

Ответ: 6 ч., 12 ч.

Задача 3

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби больше её числителя на 5. Если числитель и знаменатель увеличить на 2, то полученная дробь будет больше первоначальной на 1/8. Найдите первоначальную дробь.

Решение:

Пусть числитель данной дроби равен х,

тогда её знаменатель х + 5, и дробь имеет вид  .

После увеличения на 2 числитель дроби стал х + 2, знаменатель х + 7.

Полученная дробь имеет вид    

По условию дробь больше данной на

Поэтому имеем дробное рациональное уравнение

Решим его.

Общий знаменатель 8(х+5)(х+7), умножим все части полученного уравнения на общий знаменатель, при условии что он неравен 0 (х≠-5, х≠-7)

8(х+2)(х+5) – 8х(х+7)= (х+5)(х+7)

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, перенесем все члены уравнения в левую часть

- х² – 12х + 45 =0 | *(-1)

х² + 12х – 45 =0

х= - 15 (не удовлетворяет условию)

х=3

Тогда данная дробь 

Ответ:  

Вариант 1

1. Катер прошел 46 км по течению реки и 17 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.
2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 7 больше её числителя. Если числитель дроби увеличить на 3, а её знаменатель уменьшить на 3, то полученная дробь будет на 11/18 больше данной дроби. Найдите данную дробь.

Вариант 2

1. Катер прошел 20 км по течению реки и 32 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
2. Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 5 больше её числителя. Если числитель дроби увеличить на 2, а её знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 18/35 больше данной дроби. Найдите данную дробь.