Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному

числу n поставлено в соответствие действительное число  .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена

т.е.  для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x_{n  ,}  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, 

если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена

т.е. для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_n +1 < x_n , например, последовательность   заданная формулой   

 является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

• Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными  последовательностями.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

• Числовую последовательность   x₁ ,  x₂ , … x_n , … называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m: для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.  Однако эта последовательность неограничена сверху.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность    заданная формулой   является ограниченной последовательностью,

поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство   

•  Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

• Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого

положительного числа   ε>0   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовлй последовательности    a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

(читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать

следующим образом: a_n → a   при  (читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при ,

то эта последовательность ограничена

Свойства пределов различных последовательностей

Последовательность  a₁ ,  a₂ , … a_n , … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C  

найдется такое натуральное число   N,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … , стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения         или с помощью

обозначения  при 

1.  Для любого числа   k > 0   справедливо равенство  

2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство   

3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство         

4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство             

5 . Последовательность – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена  a_n = (– 1)ⁿ , предела не имеет.

      Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при    существуют такие числа   a   и   b ,  что

   и   

 существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

 Если, кроме того, выполнено условие      то при  существует предел дроби     причем

Нахождение пределов числовых последовательностей

Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремится к 

то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 

Часто неопределенность типа  удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки

«самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены,

«самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби,

а также, используя свойства пределов последовательностей    при |а|<1,  получаем

      Ответ.