Решить уравнения:
- умножим левую и правую часть на 6 (2*3=6)
- не входит в ОДЗ
Проверка
Запишем
и подставим в уравнение:
Проверка:
Уравнения с размещением
Например:
Здесь – произведение стольких чисел, сколько указано вверху – в примере 4 числа, и начинаем с самого большого числа – в примере 21, и каждый следующий множитель уменьшаем на 1
Уравнения:
Решение:
6*5*4 = 30*х
30*4 = 30*х, значит х=4
и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>=0
Проверка: 6*5*4 = 30*4 120 = 120 (и)
Ответ: х=4
Решение:
7*6*5 = 42*х
42*5 = 42*х, значит х=5
и обязательное условие для корней комбинаторного уравнения х>0
Проверка: 7*6*5* = 42*5 210 = 210 (и)
Ответ: х=5
Уравнения с перестановками
Pn = n! = n(n-1)(n-2)(n-3)*…*3*2*1 – перестановки
Например: P5 = 5*4*3*2*1 = 120
Уравнение:
Px = Px+2
Решение:
6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1
6х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1 = (х+2)(х+1)х(х-1)(х-2)(х-3)*…*1
6 = (х+2)(х+1)
х2 +3х – 4 =0
х1= - 4 , х2=1
условие для корней комбинаторного уравнения х>=0, значит
х1= - 4 – посторонний корень и корень уравнения
х=1
Проверка:
6*Р1 = Р1+2
6*Р1 = Р3
6*1 = 3*2*1
6=6 (и)
Ответ: х = 1
Факториал. Перестановки. Решение комбинаторных уравнений, содержащих факториал и перестановки.
Задача. Вы пригласили гостей, стулья расставлены около праздничного стола. Сколькими способами можно усадить 6 человек на 6 стульях за столом?
Решение:
Первый человек может сесть на любой из 6 стульев – 6 способов
Второй человек может сесть на любой из оставшихся 5 стульев – 5 способов
Третий – на любой из оставшихся 4 стульев – 4 способа
Для четвертого осталось на выбор только 3 стула – 3 способа
Пятый – выбирает из двух стульев – 2 способа
Шестому остается только один стул – 1 способ
Посчитаем количество способов – 6*5*4*3*2*1 = 720 способов.
В результате мы получили произведение шести множителей, это и есть общее количество всех способов усадить 6 человек на 6 стульях.
Такое произведение подряд идущих натуральных чисел называется n – факториал и обозначается n!
Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называется «эн – факториал» (в переводе с английского обозначает состоящий из n множителей). Обозначают n! = n*(n – 1)*(n – 2)* … *3*2*1.
Таблица первых десяти значений n!
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n! |
1 |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
5040 |
40320 |
362880 |
3628800 |
Вернемся к задаче, для решения достаточно было «упорядочить» гостей за праздничным столом, усадив на уже готовые места.
Такое упорядочение называется перестановкой.
Определение: Перестановками из n элементов называют различные упорядочивания данного количества конечного множества, состоящего из n элементов.
Теорема. Число перестановок множества, состоящего из n элементов равно n! То есть n различных элементов можно занумеровать числами от 1 до n ровно n! способами. Иными словами, Pn = n!
Примечания.
Практические занятия
Здесь самое большое число (m+4), а самое маленькое (m+1) – подставьте вместо m любое натуральное число, например 1, чтобы проверить себя.
В данном выражении самое большое число (n – 1) , а самое маленькое
(n – 3), т.к под знаком факториала мы не можем поставить отрицательное число, то для проверки вместо n надо подставить натуральное число больше 3, например, 4 .
Распишем факториал в уравнении, чтобы можно было упростить его левую часть. Затем, решаем уравнение относительно переменной n.
При решении уравнения обязательно прописываем ОДЗ и проверяем полученные корни уравнения по условиям ОДЗ.
Ответ: n=3.
Определяем ОДЗ для корней уравнения. n≥5 т.к. в исходном уравнении Pn-5.
Расписываем перестановки по формуле Pn=n! и подставляем в уравнение. Обратите внимание, последний множитель со знаком факториала.
Сокращаем и решаем уравнение, корни проверяем по ОДЗ.
В левой и правой части уравнения есть одинаковые множители, перенесем все в левую часть и приравняем к нулю.
Одинаковые множители (n-2)(n-3) вынесем за скобку, получим произведение, равное нулю.
Запишем систему и решим первое уравнение системы
Корни первого уравнения системы не подходят по ОДЗ, решаем второе уравнение.
Заметим, (n2 + 4) при любом значении n неравно нулю.
Проверка
(0!=1, см. выше Примечания)
Ответ: n = 5
4. Из цифр 0, 2, 4 и 5 образованы четырехзначные числа. Найдите количество таких чисел, если в них нет одинаковых цифр.
Решение:
Эта задача на перестановки цифр в записи числа. Дано 4 числа, надо составить четырехзначные числа без повторов цифр.
Р4=4! = 4*3*2*1 =24
Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, поэтому исключим такие перестановки: 0 на первом месте, а остальные перестановки из трех оставшихся цифр
Р3=3! = 3*2*1 = 6
Значит, количество таких четырехзначных чисел равно
4! – 3! = 24 – 6 =18
Ответ: 18.
5. Из цифр 1, 3, 4, 6, 7 составьте множество всех возможных пятизначных чисел без повторяющихся цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел таких, которые:
а) начинаются с цифры 7
Цифра 7 стоит на первом месте, значит переставлять будем оставшиеся 4 цифры – Р4 = 4! = 24
б) не начинаются с цифры 1
Всего чисел (без повторений цифр) Р5 = 5! = 120
Исключим те, у которых цифра 1 на первом месте Р4 = 4! = 24
Тогда искомых пятизначных чисел 5! – 4! = 120 – 24 = 96
в) начинаются с 34
Цифры 3 и 4 стоят в числе на своем месте, значит остается перестановка трех неповторяющихся цифр Р3 = 3! = 6
г) не начинается с 673
Всего пятизначных чисел из цифр 1, 3, 4, 6 и 7 Р5 = 5! = 120.
Тогда чисел, которые начинаются с 673 будет 2! = 2 (осталось переставить только 2 цифры), значит ответ: 120 – 2 = 118
д) четные
Из чисел 1, 3, 4, 6 и 7 четные два числа 4 и 6
Пусть цифра 4 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24
Пусть цифра 6 стоит на последнем месте, тогда четных пятизначных чисел без повторений цифр будет 4! = 24
Всего четных пятизначных чисел без повторений 24 + 24 = 48
6. Вычислите:
а)
б)
в)
- сочетания
При решении комбинаторных уравнений надо помнить, что полученное значение - только натуральное число
Применяйте удобную формулу, чтобы максимально сократить уравнение
Распишите соединения отдельно, сократите и подставьте в уравнение
Примеры комбинаторных уравнений
ОДЗ х>=4 т.к. (х-4) >= 0
Распишем каждое сочетание и подставим в уравнение
Запишем уравнение и ОДЗ x>4: