Методы оценки

В физическом эксперименте любое измерение (прямое или косвенное) дает лишь приблизительное значение данной физической величины.

В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно (например, измерение длины предмета линейкой, силы тока – амперметром).

При косвенных измерениях искомая величина не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений других величин.

При измерении длины полученный результат будет зависеть, по крайней мере:

От точности выбранного прибора

От внешних условий: температуры, деформации, влажности и т.д.

Результаты косвенных измерений, вычисленные по приближенным результатам, полученным в прямых измерениях, также будут приближенными. Поэтому вместе с результатом всегда необходимо указывать его точность, называемую абсолютной погрешностью результата Δ.

Например,

Н = (427,1 ± 0,2) мм

погрешность этих измерений представлена одной значащей цифрой. Значит, абсолютная погрешность результата Δ должна после округления содержать лишь одну значащую цифру, если эта цифра не 1, если же 1, то следует оставить в погрешности две значащих цифры.

Значащими цифрами в десятичном изображении числа считаются все цифры, кроме нулей впереди числа:

900 – три значащие цифры,

0,09 – одна значащая цифра

0,5.102 – одна значащая цифра.

Абсолютная погрешность Δ имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. Измеряемая величина округляется таким образом, чтобы ее последняя значащая цифра (цифра наименьшего разряда) соответствовала по порядку величины последней значащей цифре погрешности.

Например,

L = 4,45 ± 0,4 (не верно) ⇒ 4,5 ± 0,4 (верно),

L = 5,71 ± 0,15 (верно),

L = 6,8 ± 0,03 (не верно) ⇒ 6,80 ± 0,03 (верно),

L = 705,8 ± 70 (не верно) ⇒ (71 ± 7)* 10 (верно).

 

Заметим, что при расчетах погрешностей вычисления производят, сохраняя не более 2-х значащих цифр. Более точные вычисления не имеют смысла, т.к. в окончательном результате в погрешности сохраняется только одна значащая цифра.

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины к самому значению этой величины называется относительной погрешностью:

Погрешности в прямых измерениях можно классифицировать следующим образом

Систематические погрешности (ошибки)

Систематические погрешности (ошибки) обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Например, при переключении шкалы вольтметра с одного предела на другой меняется его внутреннее сопротивление, что может внести в последующие измерения систематическую погрешность. Систематические погрешности надо стараться отслеживать и учитывать, корректируя полученные результаты, т.е. исправляя их на необходимую величину. Однако обнаружение систематических погрешностей требует, как правило, дополнительных более точных или альтернативных экспериментов, проведение которых невозможно в рамках лабораторных работ. В этих случаях достаточно указать возможный источник ошибок

Случайные погрешности

Промахи –

грубые ошибки

Промахи – грубые ошибки, обычно они связаны с неправильным отсчетом по шкале прибора, нарушением условий эксперимента и т.д. Их надо отбросить. Если выпадение одного измерения из общего ряда результатов замечено в процессе проведения эксперимента, то главное правило определения промаха – проведение не менее трех повторных измерений данной точки. Результат измерений, который существенно отличается от других измерений, отбрасывается как грубая ошибка.

Приборные погрешности определяются двумя факторами:

 

(Класс точности – число, равное максимальной относительной погрешности в процентах, которую вносит прибор при измерении на пределе используемой шкалы. Это число определяет максимальную абсолютную погрешность измерения данным прибором. Класс точности электроизмерительных приборов, как правило, указан на лицевой части прибора в виде отдельного числа: 0.2 или 0.5 или 1.0 или 1.5 и т.д.)

классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной базой и принципом действия. Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим образом:

2. ценой делений шкалы прибора:

где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.

Погрешности разброса

 (Δx)р возникают вследствие различия экспериментальных значений при многократном повторении измерений одной и той же величины.

 

Простейший способ определения (Δx)р дает метод Корнфельда, который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз:

 имея   – значений измеряемой величины х, выбираем из   максимальное xmax и минимальное xmin и находим среднее значение х:

 

 находим абсолютную погрешность  

 

записываем результат в виде  где α – доверительная вероятность.

 

Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих на отрезок

Этот отрезок называется доверительным интервалом.

Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что доверительная вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала ±Δх.

Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод статистической обработки результатов с помощью коэффициентов Стьюдента. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова.

Измерить и получить несколько i = 1,..., m значений случайной величины xi. Сначала следует исключить промахи, т.е. заведомо неверные результаты.

По оставшимся n значениям необходимо определить среднее значение измеренной величины <x>:

 

Разброс средних значений в последующих аналогичных сериях измерений величины x определяется среднеквадратичной погрешностью σх среднего значения <x>:

Доверительный интервал  соответствует доверительной вероятности α = 0,7 (т.е. с вероятностью 70 % средние значения х, полученные в аналогичных сериях измерений, будут принадлежать отрезку значений

Если требуется знание результата измерений с другой доверительной вероятностью α ≠ 0,7 , то, используя таблицу коэффициентов Стьюдента, по известному значению числа измерений n и выбранной доверительной вероятности α следует определить коэффициент Стьюдента tαn , находящийся на пересечении строки n и столбца α, например,

Определяется погрешность (доверительный интервал) Δ <x> среднего значения величины <x> , соответствующая выбранной доверительной вероятности α:  

Записывается результат x = <x> ± Δ <x> с указанием доверительной вероятности α.

 

В научных статьях обычно приводят доверительный интервал x Δ =σx , соответствующий доверительной вероятности α = 0,7.

Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение доверительной вероятности не приводят.

Использование метода статистической обработки является необходимым, когда требуется знать значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ). На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности измерительного прибора.

При инженерных измерениях с повышенной точностью выбирается

tα= 3,

так как на соответствующую доверительную вероятность воспроизведения результатов при повторных измерениях рассчитываются приборы, выпускаемые промышленностью.

 

Для большинства исследований, в которых не выдвигаются жесткие требования к доверительной вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне приемлемым.

 

Как показывается в теории ошибок, результирующая погрешность

 если все эти погрешности рассчитаны для одной и той же доверительной вероятности.

Так как суммарная погрешность округляется до одной значащей цифры, на практике достаточно выбрать максимальную из трех вычисленных погрешностей, и если она в 3 или более раз превосходит остальные, принять ее за погрешность измеренной величины. При этом фактор, с которым связана эта погрешность, и будет в данном случае определять собой точность (вернее – погрешность) эксперимента.

 

Использованная литература (в свободном доступе):

Аксенова Е.Н., Гасников Н.К., Калашников Н.П. Методы оценки погрешностей результатов прямых и косвенных измерений в лабораториях физического практикума: Учебно-методическое пособие. – М.: МИФИ, 2009. – 24 с.