Как найти среднюю скорость автомобиля.

Задача.

Автомобиль первую половину пути двигался со скоростью 90 км/ч, а вторую – со скоростью 54 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля.

Решение:

Основная формула S=Vt

Средняя скорость – это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь пройден. В условии задачи весь путь делится на две половины.

Обозначим весь путь, пройденный автомобилем через 2S, тогда

где t1 – время, в течение которого автомобиль прошел первую половину пути; t2 – время, в течение которого автомобиль прошел вторую половину пути.

Среднюю скорость движения автомобиля найдем из уравнения

 , подставим t1 и  t2 в уравнение

Подставим в полученное выражение числовые значения

  Ответ: 18,75 м/с

Задача.

Велосипедист едет по пересеченной местности 11 км. В гору – 6 км со скоростью 7,2 км/ч, остальной путь (5 км) с горы – со скоростью 36 км/ч. Какова его средняя скорость?

Решение:

Чтобы найти среднюю скорость надо весь путь разделить на время движения, т.е.

 ,

где S1+S2 – полный путь, пройденный велосипедистом,

t1 – время, затраченное велосипедистом на подъем в гору со скоростью V1,

t2 – время, затраченное велосипедистом на спуск с горы со скоростью V2.

Подставим выражения в формулу средней скорости

Подставим значения

Ответ: 3,1 м/с.  

Если средняя скорость известна за отдельные последовательные промежутки времени, то можно найти среднюю скорость и за суммарное время движения.

Как вычислять среднюю скорость и в общем случае, когда известны средние скорости движения v1 , v2 , v3 , ... , с которыми тело двигалось в течение последовательных промежутков времени t 1 , t 2 , t 3 , ...? Средняя скорость всего движения выразится формулой

Важно отметить, что в общем случае средняя скорость не равна среднему значению от средних скоростей на отдельных участках пути.

Пусть, например, поезд двигался в течение двух часов, причем его средняя скорость

за первые 10 мин равнялась 18 км/ч,

за следующие полтора часа — 50 км/ч

за остальное время — 30 км/ч.

Найдем пути, пройденные за отдельные промежутки времени.

Они будут равны

s1 = 18 · 1/6 = 3 км;

s2 = 50 · 1,5 = 75 км;

s3 = 30 · 1/3 = 10 км.

Значит, общий путь, пройденный поездом, есть s = 3 + 75 + 10 = 88 км. Поскольку весь этот путь был пройден за два часа, искомая средняя скорость Vср = 88/2 = 44 км/ч.

Поезд проходит первые 10 км со средней скоростью 30 км/ч,

вторые 10 км — со средней скоростью 40 км/ч,

третьи 10 км — со средней скоростью 60 км/ч.

Какова была средняя скорость поезда на всем 30-километровом отрезке пути?

Чтобы найти среднюю скорость поезда на всем 30-километровом отрезке пути нужно знать общее время, за которое этот путь был пройден

t1 = 10 км : 30 км/ч = 1/3 ч

t2 = 10 км : 40 км/ч = 1/4 ч

t3 = 10 км : 60 км/ч = 1/6 ч

Общее время t = t1+ t2+ t3 = 1/3  + ¼ + 1/6 = 9/12 ч, тогда

Vср = 30 км : 9/12ч = 40 км/ч

Мгновенная скорость. Для описания данного неравномерного движения можно определить среднюю скорость движения на нескольких участках пути. Однако это даст лишь грубое, приближенное понятие о характере движения. Дело в том, что, определяя средние скорости, мы как бы заменяем движение в течение каждого промежутка времени равномерным движением и считаем, что скорость меняется скачком от одного промежутка времени к другому. График пути такого движения, при котором в течение отдельных промежутков времени точка движется с постоянными, но разными скоростями, изобразится ломаной линией со звеньями разного наклона.

Например, на рис.

изображен график движения автомобиля, который

в течение первого часа ехал со средней скоростью 20 км/ч,

в течение второго часа — со средней скоростью 40 км/ч

в течение третьего — со средней скоростью 15 км/ч.

Для более точного описания движения потребуется определять средние скорости за меньшие промежутки времени. На графике пути мы будем получать ломаные линии со все большим числом звеньев, все точнее описывающие данное движение

По мере уменьшения промежутков времени фактическое движение в пределах каждого отдельного промежутка будет все менее отличаться от равномерного

Скорость любого переменного движения в данной точке пути называется мгновенной скоростью и определяется как предел, к которому стремится отношение малого перемещения малого перемещения ∆r к промежутку времени ∆t, за которое это перемещение произошло при условии, что ∆t стремится к нулю

  Мгновенная же скорость неравномерного движения есть переменная величина, принимающая различные значения в разные моменты времени. Из сказанного ясно, что мгновенную скорость можно считать изменяющейся во все время движения непрерывно, так что график пути можно изобразить плавной линией.

Мгновенная скорость в каждый момент будет определяться наклоном касательной к кривой в соответственной точке. 

Мгновенная скорость - скорость, которую имеет тело в данный момент времени или в данной точке траектории.