Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Установите соответствие между знаками коэффициентов и графиками функций (задание ОГЭ)

Рассмотрим квадратичную функцию aх² + bx + c

Каждый коэффициент несет свою смысловую нагрузку:

– Знак коэффициента а показывает, как направлены ветви параболы:

– Знак коэффициента b показывает, как расположена вершина параболы относительно оси OY (в правой полуплоскости или левой полуплоскости):

– Знак коэффициента с показывает, где находится точка пересечения с осью OY (ось ординат)

Установите соответствие и впишите ответ

На рисунках изображены графики функций вида y=ax² +bx+c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

Решение:

ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY выше 0

график 3)

ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось OY выше 0

график 2)

ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY ниже 0

график 1)

ГРАФИКИ

Установите соответствие между знаками коэффициентов и графиками функций (задание ОГЭ)

Рассмотрим квадратичную функцию aх² + bx + c

Каждый коэффициент несет свою смысловую нагрузку:

– Знак коэффициента а показывает как направлены ветви параболы:

– Знак коэффициента b показывает, как расположена вершина параболы относительно оси OY (в правой полуплоскости или левой полуплоскости):

– Знак коэффициента с показывает, где находится точка пересечения с осью OY (ось ординат)

Установите соответствие и впишите ответ

На рисунках изображены графики функций вида y=ax2 +bx+c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер

Решение:

ГРАФИКИ

Решение:

А) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют коэффициенты  a>0, c>0 пункт 3)

Б) ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось OY ниже 0, соответствуют a>0, c<0  пункт 2)

В) ветви параболы направлены вниз, парабола пересекает ось OY выше 0, соответствуют коэффициенты  a<0, c>0 пункт 1)

Подготовка к ОГЭ

Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

S_n=a₁+a₂+…+a_n

Равна полусумме первого и n-го ее её членов, умноженной на n членов, т.е

вычисляется по формуле:                           

Если заменить a_n = a₁ + d(n-1) то получим формулу:    

Задача 1.

Найти сумму ста первых натуральных чисел.

Решение:

Последовательность 2, 4, 6,….2n,…, 200

d=2

n=100

Ответ: 10100

Задача 2.

Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, где а₁=3 и d=2, чтобы их сумма равнялась 168?

Решение:

По формуле

  получим:

Или     2n – n² = 168

n² + 2n -168 =0

n= -14 – не подходит по условию задачи

n= 12

Ответ: 12

В сборниках типовых вариантов экзаменационных заданий задачи на прогрессию под номером 14.

В задачах ОГЭ на прогрессию нет условий, в которых вам бы сразу были даны а₁, d (разность) или S_n.

Здесь надо немного подумать, а может и начертить чертеж.

Например,

Задача 3.

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний день улитка проползла

в сумме 6,5 метра. Определите сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 26 метров.

Решение:

В данной задаче нам дана сумма арифметической прогрессии – это путь, который проделала улитка – 26 метров,

также нам дана сумма пути в первый и последний день – 6,5 метра.

Используем формулу нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии

   , тогда 6,5n = 52, отсюда  n = 52:6,5 = 8

Ответ: 8

Задача 4.

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в амфитеатре?

Решение:

Здесь а₁ = 13,  d = 2, тогда

а₁₃=17 + 2*12 = 17+24 = 41

Ответ: 377

Задача 5.

В кафе только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображен случай, когда сдвинули три квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который может получится, если сдвинуть 15 квадратных столиков вдоль одной линии?

Решение:

Здесь а₁ = 4, а₂ = 6, а₃ = 8, тогда d = 6 – 4 = 2

a_n = a₁ + d(n-1)

а₁₅ = 4+2∙14 = 4+28 = 32

Ответ: 32

Задача 6.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным способом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Обратите внимание, что ломаная начинается с центральной клетки:

1 клетка + 1 клетка = 1+1, далее

2 клетки + 2 клетки = 2+2 и т.д., т.е.

Длина = 1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+9+9+10+10 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)∙2 = 2S₁₀

Тогда, при n=120  длина ломаной будет равна 2∙S₁₂₀

Длина ломаной – 2∙7260 = 14520

Ответ: 14520

Сложение и вычитание натуральных чисел.

Натуральные числа - это числа, которые мы используем для счета: 1, 2, 3, ... , ...

С натуральных чисел мы и начнем повторение математики. 

Самое простое арифметическое действие - сложение. При сложении "столбиком", главное - записать слагаемые правильно. А именно: единицы - под единицами, десятки - под десятками, сотни - под сотнями, ... , разряд - под разрядом.

Сложение идет справа налево, начиная с единиц и далее, разряд за разрядом.

  $70244+23150=93754$

Запомни следующие правила:   

1) a + b = b + a  - от перемены мест слагаемых сумма не меняется

    2 + 5 = 5 + 2 =7

2) а + 0 = 0 + а = а     

   125 + 0 = 125

   0 + 125 = 125 

Замечательно, когда при сложении разрядов, не надо переходить в следующий, но так бывает не всегда. Сумма разряда может быть 10 и более (значит это уже следующий разряд).

Тогда единицы в полученной сумме записываем под единицами, и добавляем 1 к следующему разряду. 

Рассмотрим следующие примеры:

$152307+246724=399031$

Найдите сумму. Сопоставьте пример и ответ.

Вычитание натуральных чисел.

Вычитание - это действие, обратное сложению.

Запомни!    При вычитании  а – 0 = а,      а – а = 0

При вычитании "столбиком" записываем числа также, как и при сложении, выравнивая по правому краю. Единицы - под единицами, десятки - под десятками и.т.д. Но что делать, если уменьшаемое - число сверху, меньше вычитаемого - числа снизу?!

В этом случае надо занять у "старшего" разряда (то число, что стоит слева в уменьшаемом) 1 - единицу. И не забудь поставить точку над "старшим" числом - ты же занял! Теперь "старший" уменьшился на 1, а "младший"- увеличился на 10. Вот такая математика...

 Рассмотрим несколько примеров

$255437-3206=52231$

$14065-2337=11728$

Найдите разность. Сопоставьте пример и ответ.

Пройдите тест по уроку