Медиана как статистическая характеристика

Рассмотрим ещё одну статистическую характеристику.

Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 9 квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа от него записано 4 числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведем другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили десятую. Получили такую таблицу:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел

(78+82):2= 80. Число 80 не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы – слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять  членов ряда:                                                       64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

Говорят, что медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное по середине,

а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посредине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда чисел

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n-1 членов, то медианой ряда называется n-й член, так как n-1 членов стоит до n-го члена и n-1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n и  n+1 местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит среднее значение, т.е. медиану.

Рассмотрим еще пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17 и 18 членов, т.е. равна (3+4):2=3,5.

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как половину всех сотрудников составляют те, которые приобрели не более 3 акций.

Вообще среднее арифметическое зависит от значений всех членов в упорядоченном ряду данных, в том числе и от значений крайних членов, которые часто бывают наименее характерными для рассматриваемой совокупности данных. Поэтому при анализе данных сведения о среднем арифметическом часто дополняются указанием медианы.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике, при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют какой-либо из этих показателей, либо два из них, либо даже все три.

Среднее арифметическое, размах и мода

При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Имея этот ряд данных, можно определить сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и сумму разделить на 12.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгебре учащиеся затратили в среднем по  27 мин. Проводя аналогичные наблюдения за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течении недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т.п. Заметим, что для серьёзных выводов о загруженности учащихся домашними заданиями необходимо выделить для наблюдений значительно большую группу, чем 12 человек (учащихся).

Среднее арифметическое представляет собой то значение величины, которое получается, когда сумма всех наблюдений мысленно распределяется поровну между единицами наблюдения.

Например, выделив среднее арифметическое удоев молока, полученных за сутки на ферме от всех коров, мы найдём тот удой, который получили бы за сутки от одной коровы, если бы все коровы давали одинаковое количество молока, то есть найдём среднесуточный удой молока на ферме от одной коровы.

Аналогично находят среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, среднюю выработку рабочего бригады за смену и т.п.

Вместе с тем, иногда вычисление среднего арифметического не дает полезной информации.

Например, целесообразно использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве, средний размер обуви, которую носят учащиеся школы.

В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 мин., т.е. среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин., а наименьший - 18 мин.

Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19. 

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течении суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислить среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебания температуры в течении этих суток.

При анализе сведений о времени, затраченном семиклассниками на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичными для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего.

Нетрудно заметить, что таким числом является число 25 - мода рассматриваемого ряда.

Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 53, 47, 52

две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа - менее трех раз.

В ряду чисел

69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72

моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.

Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Среднее арифметическое в этом случае не дает полезной информации.

Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, распространенной на рынке, и т.п.

Рассмотрим ещё пример. Пусть проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е такой ряд, в котором каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.      Получим

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

Вычислим среднее арифметическое:

 - 37 (приблизительно)

Размах ряда равен 39-35=4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.

Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет примерно 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

Среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из чисел ряда, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда.

Кроме того, в отличии от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным.

Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающих, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из телевизионных развлекательных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Слово «статистика» происходить от латинского слова «status», которое означает «состояние, положение вещей».

Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, перевозку грузов и пассажиров отдельными видами транспорта, природные ресурсы и т.п. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

 Статистические характеристики

1. а) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 7, 3, 5, 0, 1, 3, 6, 4, 2, 3. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

Решение:

Упорядочим данные:

0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

Размах: 7–0=7

Мода: 3 – встречается чаще всего

Медиана: В данном числовом ряду 10 чисел и имеются два числа, находящиеся в середине ряда: 3 и 3. Найдем среднее арифметическое этих чисел  

Среднее арифметическое:   

     б) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 0, 3, 1, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 2. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

2. В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в течении года (по месяцам). Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии, размах приведенного ряда чисел, моду данного ряда чисел, медиану этого ряда чисел.

а)

б)

3. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3а+1, а-3, 2а+8, 2а+6

Решение:

б) 2а-3, 3а-1, 4а+5, 3а+7.

4. а) Среднее арифметическое пяти чисел равно 3,7. К этим числам приписали ещё число 5,5. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Решение:

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=3,7*5

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=18,5

     б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 4,6. К этим числам приписали ещё число 7,0. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Множество, подмножество, примеры множеств.

В математике некоторые понятия являются неопределяемыми (первичными). К ним относится понятие множества (например, в «Алисе в Стране чудес»: «Множество чего? – А ничего, просто множество»).

Множество – группа или набор объектов (предметов), обладающих каким-либо общим для всех них свойством или признаком.

Это утверждение не является определением, а лишь разъяснением. Множество – начальное понятие (как, например, точка, число), на основании которого строятся остальные понятия математики.

Множества можно составлять из различных объектов, как материальных, так и абстрактных, объединенных на основе самых различных признаков, содержащих различное количество элементов.

Под элементами множества в математике понимают объекты, составляющие множество.

Способы задания множеств

Множества могут быть заданы списком, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.

Описать множество можно словами, например,

B – множество планет солнечной системы.

Тогда

B = {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер Сатурн, Уран, Нептун, Плутон(*)}.

(*) Плутон считался девятой планетой нашей звездной системы с момента открытия 1930 г. и до 2006 года.

Порядком множества называется число его элементов. Если множество состоит из конечного числа элементов, то его порядком называется количество элементов. Если множество содержит бесконечное число элементов, оно называется бесконечным. Из бесконечных множеств можно выделить множества, элементы которых можно пронумеровать (множество натуральных чисел, множество, состоящее из членов арифметической или геометрической прогрессии, и т.д.) – счетные множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, а их элементы – строчными a, b, c, ….

Принадлежность элемента множеству записывают a ∈ A.

Пустое множество – множество, не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается .

Рассмотрим некоторые примеры множеств.

1. Множество натуральных чисел: {1, 2, 3....}. Множество содержит бесконечное число элементов.
2. Множество всех делителей числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Конечное множество, содержащее 6 элементов.
3. Множество всех выпуклых четырёхугольников. Множество содержит бесконечное число элементов. Несчётное множество.
4. Множество действительных чисел, являющихся корнями уравнения х² = -1. Уравнение не имеет действительных корней, поэтому множество его решений – пустое.

Числовые множества.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Применяются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел. Множество N содержит числа, используемые для счета (целые положительные числа);

Z – множество целых чисел. Множество Z содержит целые отрицательные числа, 0, целые положительные числа;

Q – множество рациональных чисел {m/n | m ∈ Z;  n ∈ N}, состоящее из дробей, в числителе которых стоит целое число, а в знаменателе – натуральное.

R – множество действительных чисел. Множество действительных чисел R называется числовой прямой и обозначается (–∞; +∞).

Наглядную иллюстрацию множеств дают диаграммы   Эйлера- Венна, в которых элементы множеств изображаются точками некоторых кругов.

Множество А называется подмножеством множества B (A ⊂ B), если любой элемент множества  А принадлежит множеству В.

• любое множество, есть подмножество самого себя,
• пустое множество является подмножеством любого множества

• если A ⊂ B и В ⊂  А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А = В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

• если A ⊂  B и В ⊂   А, то множества А и В состоят из одних и тех же элементов и называются равными (А =В),
• если А – непустое подмножество множества В и А ≠ В, то А называют собственным подмножеством множества В. Подмножество множества представлено на рисунке:

Действия с множествами

Пусть даны множества А и В.

Объединением множеств А и В называется множество С (А U В = С), элементы которого являются элементами   А или элементами В.

Пересечением множеств А и В называется множество С (А∩ В = С), элементы которого являются элементами  А и элементами В одновременно.

Разностью множеств  А и В называется множество С (А\В = С), элементы которого являются элементами  А и не принадлежат В.

Примеры:

Практическая работа

Дано:

A={1; 2; 3; 5; 7; 10}

B={3; 4; 6; 9; 10}

C={2; 5; 7; 9; 11}

Найти:

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={x | x принадлежит A и x не принадлежит B}.

Пример:

A= {1; 3; 4; 6; 8}  

B= {4; 5; 6; 7; 9}

A\B ={1; 3; 8}                B\A = {5; 7; 9}.

Разность множеств

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A\B ={х| x принадлежит А и х не принадлежит В}.

Графические изображения разности множеств.

A\ В  в  различных случаях

1. А ∩ В ≠  ∅

2. В ⸦ А

Тогда (A\B) ∪ В = А

А ∩ В = В

А ∪ В =A

3. Если А ∩ В =  

то А \ В = А

Примечание.

Если А ⸦ В, то   

Решение задач

Дано:       А = {3; 6; 7; 8; 9; 10};

В = {1; 4; 6; 8; 9; 11};

С = {2; 3; 7; 10; 12}

Найдите:

1. (A\B) ∩ C  = {3; 7; 10} ∩ {2; 3; 7; 10; 12} = {3; 7; 10}.

2. A\ (B∩C)  ={3; 6; 7; 8; 9; 10} \ ∅ = {3; 6; 7; 8; 9; 10}.

3. (А \ С)∩B ={6; 8; 9} ∩ {1; 4; 6; 8; 9; 11} = {6; 8; 9}.

4. C\ (А \ В) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {3; 7; 10} = {2; 12}.

5. С \ (A∩B) = {2; 3; 7; 10; 12} \ {6; 8; 9} ={2; 3; 7; 10; 12}.

6. (В ∪ С) \ А ={1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} \ {3; 6; 7; 8; 9; 10} = {1; 2;  4; 11; 12}.

7. (А ∪ В) \ С ={1; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11} \ {2; 3; 7; 10; 12} =  {1; 4; 6; 8; 9; 11}.

8. (А ∪ С) \ В = {2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 12} \ {1; 4; 6; 7; 8; 9; 11} = {2; 3; 7; 10; 12}

ЗАКРЕПИТЕ МАТЕРИАЛ И РЕШИТЕ ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ ПО ССЫЛКЕ