Урок 1. Теорема Фалеса. Подобие.

Определение 1.

Отрезки AB и CD называются пропорциональными отрезкам A₁B₁ и C₁D₁

если    

Теорема Фалеса.

При пересечении сторон угла параллельными прямыми на сторонах угла образуются пропорциональные отрезки

Определение 2.

Если в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ углы соответственно равны - ∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁,

∟С = ∟С₁ – то противолежащие соответственно равным углам стороны (в ∆АВС и ∆А₁В₁С₁) – АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ – называются сходственными.

Определение 3.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Подобие треугольников записывают так: ∆АВС ~ ∆А₁В₁С_1.

Итак,

∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁, ∟С = ∟С₁

где k – отношение сходственных сторон, называемое коэффициентом подобия.

Решение задач.

Чтобы найти неизвестные стороны подобных треугольников нужно:

1. Записать пропорциональность сходственных сторон (сходственные стороны лежат против равных углов).
2. Подставить значение известных сторон.
3. Вычислить неизвестную сторону, решив пропорцию.

Задача

Дано:

∆АВС ~ ∆MPK, (AB и MP, BC и PK – сходственные стороны). AB=12, ВC=15, PK=40, MK=24

Найти: MP и АС.

Решение:

Здесь А→М, В→Р, С→К.

Так как ∆АВС ~ ∆MPK и AB и MP, BC и PK – сходственные стороны (по условию), то    

Тогда     

 Из пропорции

Основное свойство пропорции:  МР∙15 = 12∙40, отсюда

Из пропорции

,

Основное свойство пропорции:

АС∙40 = 15∙24, отсюда

Ответ: АС=9, МР=32

Тест на платформе Skillspace  Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники