Трапеция, параллелограмм, касательная к окружности


Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Какое из следующих утверждений верно?

  1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
  2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов.
  3. Диагонали ромба равны.

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение:

Это задача на выбор правильного утверждения

Лучше всего начертить данное утверждение, тогда все станет понятно

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника – это утверждение неверно, т.к. центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе, а в тупоугольном треугольнике – центр находится вне данного треугольника

(см. Математика в схемах и таблицах/ И.В. Третьяк)

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусов – это утверждение верно, т.к. сумма углов любого треугольника равна 180 градусов

Диагонали ромба равны – это утверждение неверно, достаточно начертить ромб и провести в нем диагонали

                   

 Записываем номер – 2

 

В треугольнике АВС угол С равен 900, АС=16, АВ=40. Найдите Sin B.

Решение

 

Противолежащий катет АС=16

Гипотенуза АВ=40

 

                              

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение

О чем задача – о равнобедренной трапеции

Что надо найти – большее основание трапеции исходя из рисунка.

Обозначим буквами, данные на чертеже:

АВСD – равнобедренная трапеция АВ = CD, АD – большее основание (его надо найти)

ВС = 6 – меньшее основание,

ВН = 5 – высота, угол А = 450

Проведем дополнительно высоту СН1, тогда основание AD = АН+НН11D

Т.к. угол А = 450, то АН = 5, соответственно  Н1D = 5, НН1 = ВС = 6,

тогда AD = 5+6+5=16

 

 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС

Решение

О чем задача – о средней линии треугольника.

В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции:

Средняя линия треугольника АВС – это половина основания АС

Считаем количество клеток основания АС – 8 клеток

По условию задачи размер клетки 1 х 1, значит сторона клетки =1, тогда средняя линии равна

8:2 = 4

 

     

Угол А трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 590. Найдите угол В этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

О чем задача – о трапеции, вписанной в окружность.

Что надо найти – один из углов этой трапеции.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800, тогда

∟А + ∟С  = 1800, следовательно

∟С = 1800 – ∟А = 1800 – 590 = 1210

Окружность можно описать только около равнобедренной трапеции, значит трапеция ABCD – равнобедренная.

Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны: ∟В =∟С  и  ∟А = ∟D

Тогда ∟В =∟С  = 1210

 

             

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Что надо найти – среднюю линию трапеции.

В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции:

В условии даны длины оснований, поэтому подставим значения в формулу и найдем среднюю линию трапеции:

    

Заметим, что высота здесь – лишнее значение

 

                      

 

Ответ записывается без пробелов, запятых, точек – 13

 

Решение

  1. В справочных материалах есть формула площади треугольника. Действительно, площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. Это верное утверждение

 

 

  1. В справочных материалах есть раздел о средней линии треугольника и трапеции.

Это утверждение неверно.

 

  1. Данное утверждение – один из признаков подобия треугольников (теорема). Данное утверждение верно.

 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

В справочных материалах есть формула площади параллелограмма

Считаем количество клеток основания а – 6 клеток

Высота (красная линия) h – 3 клетки

По условию задачи размер клетки 1 х 1, значит сторона клетки =1

а=6, h=3, подставим в формулу площади

S=ah =6*3=18

Ответ  

 



Треугольник, трапеция, четырехугольник и окружность


Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

 

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

 

 

Задачи Банка заданий ОГЭ ФИПИ

Один из углов прямоугольной трапеции равен 64о. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

  1. О чем задача – о прямоугольной трапеции, значит два угла прямые (по 90о). Сумма углов четырехугольника равна 360о, значит оставшиеся два угла равны 360о – 90о – 90о =180о
  2. Один из углов равен 64о, значит больший угол равен 180о – 64о  =116о

 

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке пересечения О, АС = 22, BD = 24, АВ = 3. Найдите DO.

Решение:

О чем задача – о диагоналях параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам.

Что надо найти? – DO – это половина диагонали BD, которая по условию равна 24.

Значит DO = BD:2 = 24:2 = 12

 

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 92о, угол CAD равен 600. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

О чем задача – об углах вписанного четырехугольника.

Что надо найти – угол ABD, который находится внутри угла АВС

Угол АВС равен 92о, если узнать величину угла CBD, то можно найти угол ABD.

Рассмотрим чертеж

угол CAD (красный) опирается на дугу CD

угол CBD (синий) опирается также на дугу CD

Углы опираются на дуги, если дуги, на которые они опираются одинаковые, то и градусная мера этих углов тоже одинаковая (углы равны), значит CBD = ∟ CAD = 600

ABD = ∟ АВС – ∟ CBD = 92о – 600 = 320

 

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

 

О чем задача – о биссектрисе равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике биссектриса является медианой и высотой, значит можно рассмотреть полученный прямоугольный треугольник, где сторона а=10√3 и b – искомая биссектриса

В справочном материале такой раздел есть, также есть значения тригонометрических функций

Тогда  

Тогда биссектриса равна