Биография.

Николай Иванович Лобачевский — российский математик, один из создателей неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд  назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Рисунок 1. Н.И. Лобачевский

Лобачевский в течение 40 лет преподавал в Императорском Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений. По выражению Н.П. Загоскина, Лобачевский был «великим строителем» Казанского университета.

До конца 1940-х годов сведения о дате и месте рождения Н. И. Лобачевского были противоречивы. В 1948 году А.А. Андронов опубликовал статью о своих изысканиях по этому поводу, в которой указывал, что точной датой рождения математика следует считать 20 ноября 1792 года (по старому стилю), а местом — город Нижний Новгород (в 1948 году — Горький). 

Николай — средний из троих сыновей Прасковьи Александровны Лобачевской (?—1847), мужем которой был чиновник в геодезическом департаменте Иван Максимович Лобачевский (1760—1800). 

 Юность и студенческие годы.

В 1802 году Прасковья Александровна отдала всех троих сыновей в Казанскую гимназию, единственную в те годы во всей восточной части Российской империи, на «казённое разночинское содержание». Николай Лобачевский окончил гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г.И. Карташевского.

Совет университета обратился к родителям воспитывающихся в Казанской гимназии детей с предложением отдать их после окончания курса гимназии для продолжения обучения в университете. П. А. Лобачевская ответила согласием. Старший брат Николая, Александр, был зачислен в университет тотчас, 18 февраля 1805 года. Николай в июле 1806 года подвергся испытанию, но неудачно, однако 22 декабря того же года прошёл повторное испытание и 14 февраля 1807 года был зачислен в университет. В том же 1807 году становится студентом Казанского университета и младший брат Николая, Алексей.

В первые годы лишь два курса года относились к физико-математическим наукам. В двух полугодиях адъюнктом И. И. Запольским читался курс физики. В первом полугодии адъюнкт Г. И. Карташевский повторил со студентами общую арифметику, прочитал курс алгебры и перешёл к изложению дифференциального исчисления. Однако 5 декабря 1806 года, из-за конфликта с директором университета И.Ф. Яковкиным, он и ряд других преподавателей были уволены. Преподавать математику было поручено студентам. Студенты вели занятия и по другим дисциплинам. В 1811 году, окончив университет, Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при университете.

Геометрия Лобачевского.

Геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных состоит в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её (в евклидовой геометрии такие прямые называют параллельными). В Лобачевской геометрии эта аксиома заменяется следующей: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её (достаточно, чтобы это было выполнено для одной точки и одной прямой). 

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.

Рисунок 2. Модели геометрии Лобачевского.

Другие достижения Лобачевского.

Лобачевский был не только геометром исключительной творческой силы, но и математиком с широким диапазоном научной работы. Ему принадлежит ряд фундаментальных работ в области алгебры («Алгебра или вычисление конечных», 1834, и др.) и математического анализа («Об исчезновении тригонометрических строк», 1834, «О сходимости бесконечных рядов», 1841, «О значении некоторых определённых интегралов», 1852, и др.).

В области анализа Лобачевский получил новые результаты в теории тригонометрических рядов. Им же установлен один из наиболее удобных методов приближённого решения уравнений (метод Лобачевского).

Лобачевский всю свою жизнь трудился над разработкой своей теории геометрии, но занимался и другими разделами математики.

В частности, он разработал метод приблизительного решения алгебраических уравнений и его порядка:

Лобачевского метод, метод приближённого (численного) решения алгебраических уравнений состоит в построении уравнения f1(x) = 0, корни которого являются квадратами корней исходного уравнения f(x) = 0. Затем строят уравнение f2(x) = 0, корнями которого являются квадраты корней уравнения f1(x) = 0. Повторяя этот процесс несколько раз, получают уравнение, корни которого сильно разделены.

В случае если все корни исходного уравнения действительны и различны по абсолютной величине, имеются простые вычислительные схемы для нахождения приближённых значений корней. В случае равных по абсолютной величине корней, а также комплексных корней вычислительные схемы метода Лобачевского очень сложны.

Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции:

…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от «называть число», которое даётся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной…

Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе.

Метод Лобачевского — Греффе — эффективный алгоритм для нахождения корней многочлена. Иногда называется по именам первооткрывателей «Метод Лобачевского — Греффе — Данделена» или «Метод Данделена — Лобачевского — Греффе».

По сравнению с другими алгоритмами решения той же задачи (например, методом Ньютона), данный метод имеет несколько преимуществ.

Он не требует предварительной работы по выяснению, где примерно находятся корни и сколько среди них комплексных  — данный метод даёт в результате все вещественные корни, а при некоторой модификации — также и комплексные.

Недостатками метода являются отсутствие сопутствующего контроля ошибок при ручном счёте и сложность оценки точности результата.

Точность метода может оказаться невысокой из-за численной неустойчивости, то есть быстрого накопления погрешности в ходе вычислений.

Кроме того, метод медленно сходится, если у многочлена есть корни, равные или очень близкие по модулю (например, +4 и —4).

За свою жизнь Лобачевский написал большое количество трудов и научных статей. Они касались большого количества сфер: астрономии, социальной сферы, алгебры, теории вероятности, геометрии и т.д. Такие заслуги не остались незамеченными. 

Он первый доказал, что непрерывность функции и такое понятие, как дифференцированность – это не одно и то же.

Теория определителей – это также сфера математической науки, в которой Николай сделал массу исследований и открытый.

В 1892 году в России и в других странах широко отметили 100-летний юбилей Лобачевского.

Была учреждена международная премия имени Н.И. Лобачевского (1895), в Казани открыт памятник ученому.