ГЛАВА 1. ПЕРИОДЫ ЖИЗНИ ЛЕОНАРДО ЭЙЛЕРА

1. 1. Швейцария (1707—1727)

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье Базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли. Рано проявил математические способности. Начальную подготовку он проходил дома под руководством своего отца. Пастор готовил своего старшего сына к духовной карьере, но он также изучал математику с ним как развлечение и для развития логического мышления. Одновременно с учебой в гимназии мальчик увлекался математикой, а в последние годы гимназии посещал университетские лекции своего младшего брата Якова.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но вскоре способный мальчик привлек внимание профессора Иоганна Бернулли. Ученый давал одаренному студенту математические статьи для изучения, а по субботам приглашал его к себе домой, чтобы вместе анализировать непонятное.

8 июня 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнес речь на латыни о сравнении философских взглядов Декарта и Ньютона и был удостоен степени магистра.

В последующие два года молодой Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике звука», была представлена на конкурс на замещение вакантной должности профессора физики в Базельском университете. Но, несмотря на положительные отзывы, 19-летний Эйлер считался слишком молодым, чтобы быть включенным в список кандидатов на профессорскую должность. Количество научных вакансий в Швейцарии было очень мало, поэтому братья Даниэль и Николай Бернулли уехали в Россию, где создавалась Академия наук.

В начале зимы 1726 года Эйлеру сообщили из Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он был приглашен на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей. Потребовался почти год, чтобы получить аванс на дорожные расходы, и только 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию.

1. 2. Первый приезд в Россию (1727—1741)

22 января 1724 года Петр I утвердил проект Санкт-Петербургской Академии. 28 января Сенат издал указ об учреждении Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов было 8 математиков, которые также работали в области механики, физики, астрономии, картографии, теории судостроения и службы мер и весов.

Одной из важнейших задач Академии была подготовка домашнего персонала. Позже при Академии были созданы университет и гимназия. В связи с острой нехваткой учебников русского языка Академия попросила своих членов подготовить такое пособие. Эйлер, хотя и был физиологом, составил очень хорошее «руководство по арифметике» на немецком языке, которое было немедленно переведено на русский язык и служило в течение нескольких лет в качестве начального учебника. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. К всеобщему удивлению, на следующий год Эйлер свободно говорил по-русски.

В 1730 году интерес к Академии снизился. Некоторые из приглашенных профессоров начали возвращаться домой. Эйлеру предложили вакантную должность профессора физики. Через два года Даниэль Бернулли вернулся в Швейцарию, и Эйлер возглавил его кафедру, став академиком и профессором чистой математики с зарплатой 600 рублей.

В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине. Молодожены приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера было 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Эйлер был феноменально эффективен. По мнению современников, для него жить означало изучать математику. А у молодого профессора было много работы: картография, всевозможные экспертизы, консультации судостроителей и артиллеристов, составление руководств, проектирование пожарных насосов и так далее. они даже требуют от него составления гороскопов, которые Эйлер со всем возможным тактом посылает обычному астроному. Но все это не мешает ему активно проводить собственные исследования.

За время своего первого пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических «записок» заполнена работами Эйлера. Он выступал с докладами на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов от государственных ведомств.

В 1735 году перед Академией была поставлена задача выполнить срочный и очень громоздкий астрономический расчет. Группа ученых попросила завершить эту работу в течение трех месяцев, и Эйлер взял на себя обязательство завершить работу за 3 дня — и справился с ней самостоятельно. Однако напряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз.

В 1730-х годах Эйлер прославился в Европе. Двухтомная работа «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», опубликованная в 1736 году, принесла ему мировую известность. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы математического анализа для решения задач движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. «Те, кто обладает достаточными аналитическими навыками, смогут увидеть все с необычайной легкостью и прочитать всю работу без посторонней помощи», - заключает Эйлер в своем предисловии к книге. С этого момента теоретическая механика становится прикладной частью математики.

«После смерти прославленной императрицы Анны, во время последующего регентства... ситуация начала казаться неопределенной». В самом деле, во время регентства Анны Леопольдовны Петербургская Академия окончательно пришла в упадок. Эйлер думает о возвращении домой. В конце концов он принимает предложение прусского короля Фридриха, который пригласил его в Берлинскую академию на очень выгодных условиях, в качестве директора ее математического отделения. Академия была основана на базе прусского королевского общества, основанного Лейбницем, но в те годы она находилась в удручающем состоянии.

1.3. Пруссия (1741—1766)

29 мая 1741 года было получено разрешение Академии. Эйлер был «освобожден» и утвержден почетным членом Академии. Взамен он обещал оказать всю возможную помощь Петербургской Академии. В течение многих лет молодые российские ученые, которых направляли на стажировки, жили в квартире Эйлера на полном пансионе. Известно об активной переписке Эйлера с Ломоносовым, в трудах которого он высоко ценил "счастливое сочетание теории с экспериментом".

В июне 1741 года Леонард Эйлер с семьей прибыл в Берлин. Он провел там 25 лет и опубликовал около 260 работ.

Поначалу Эйлера тепло встречают в Берлине и даже приглашают на придворные балы. Помимо математики, он занимается практическими задачами, включая лотереи, чеканку монет, прокладку новых водопроводных труб и организацию пенсионных выплат.

В Берлинский период работы Эйлера выходили одна за другой: «введение в анализ бесконечно малых величин»(1748), «морская наука» (1749), "Теория движения Луны"(1753), «инструкции по дифференциальному исчислению». Многочисленные статьи по конкретным вопросам публикуются в изданиях Берлинской и Санкт-Петербургской академий. В 1744 году Эйлер открыл вариационное исчисление.

1765: новый шедевр Эйлера, «Теория движения твердых тел». В 1766 году были опубликованы «элементы вариационного исчисления». Именно здесь впервые появилось название нового раздела математики, созданного Эйлером и Лагранжем.

В 1762 году Екатерина II взошла на российский престол, проводя политику просвещенного абсолютизма. Хорошо осознавая значение науки как для прогресса государства, так и для собственного престижа, она осуществила ряд важных, благоприятных для науки преобразований в системе народного образования и культуры. Императрица предложила Эйлеру руководство математическим классом, звание секретаря конференции Академии и жалованье в 1800 рублей в год. «А если не понравится, - говорилось в письме к ее представителю, - благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург».

Эйлер выдвинул свои условия:

• оклад 3000 рублей в год и должность вице-президента Академии
• ежегодная пенсия в размере 1000 рублей супруги после его смерти
• оплачиваемые должности для трех его сыновей, включая секретаря Академии для старшего.

Эйлер подал прошение королю об отставке со службы, но ответа не получил. Он снова подал заявление — но Фридрих даже не стал обсуждать его отъезд. В ответ Эйлер прекратил работу в Берлинской академии.

Эйлера всячески поддерживали настойчивые ходатайства русского педставительства от имени императрицы. 30 апреля 1766 года Фридрих наконец разрешил великому ученому покинуть Пруссию, после того как он отпустил несколько острых слов. Однако, Кристоф, младший сын Эйлера, служивший подполковником в артиллерии, получил категорический отказ короля покинуть армию. Позже, благодаря заступничеству Екатерины II, он смог присоединиться к своему отцу; в русской армии он дослужился до генерал-лейтенанта.

1.4. Снова Россия (1766—1783)

В июле 1766 года 60-летний Эйлер с семьей прибыл в Санкт-Петербург. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина II встретила его как августейшего человека и осыпала милостями: выделила 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на покупку мебели, предоставила одного из своих поваров на первое время и поручила ему подготовить идеи для реорганизации Академии.

К сожалению, вернувшись в Петербург, Эйлер перестал видеть. Вероятно, именно по этой причине он так и не получил обещанного поста вице-президента Академии. Однако слепота не повлияла на его работоспособность. Эйлер диктовал свою работу мальчику-портному, который все записывал по-немецки. За два с половиной десятилетия работы в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.

1767-1770: работа над двухтомной классической монографией «универсальная арифметика». Это замечательное произведение немедленно публикуется на русском языке. Книга была переведена на многие языки и переиздана около 30 раз. Все последующие учебники алгебры создавались под сильным влиянием книги Эйлера.

В те же годы издаются также три тома «Оптики» и фундаментальное «Интегральное Исчисление» в 3-х томах.

В мае 1771 года в Петербурге произошел крупный пожар, уничтоживший дом и почти все имущество Эйлера. Сам ученый едва спасся. Все рукописи были спасены от пожара; сгорела лишь часть «новой теории движения Луны», но она была быстро восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего феноменальную память до глубокой старости. Эйлеру пришлось временно переехать в другой дом.

В сентябре того же года по особому приглашению императрицы известный немецкий окулист прибыл в Петербург для лечения Эйлера. После обследования он согласился на операцию и удалил катаракту из левого глаза. Эйлер снова начал видеть. Доктор велел мне беречь глаза от яркого света, не писать, не читать — только постепенно привыкать к новому состоянию. Однако через несколько дней после операции Эйлер снял повязку и вскоре снова потерял зрение. На этот раз все окончательно.

1772: «новая теория движения Луны». Эйлер наконец завершил свою многолетнюю работу, аппроксимировав задачу о трех телах.

В 1773 году по рекомендации Даниэля Бернулли в Петербург из Базеля приехал ученик Бернулли Никлаус Фусс. Это был большое счастье для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и практических навыков, что дало ему возможность приступить к математической работе Эйлера сразу же после его приезда. Фусс вскоре женился на внучке Эйлера. В течение следующих десяти лет, вплоть до своей смерти, Эйлер в основном диктовал ему свои произведения, хотя иногда использовал «глаза своего старшего сына» и других учеников.

1779: издается «универсальная сферическая тригонометрия», первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

Эйлер работал до последнего. В сентябре 1783 года 76-летний ученый начал испытывать головные боли и слабость. 7 сентября, после обеда с семьей, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел сказать: «Я умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, не приходя в сознание, он умер от кровоизлияния в мозг.

ГЛАВА 2. ВЕЛИКОЕ НАСЛЕДИЕ УЧЕНОГО

Список работ, опубликованных за жизнь Леонарда Эйлера, составлял около пятидесяти страниц. До сих пор сохранилась масса книг, исследований и диссертаций, которые были созданы при жизни Эйлера. Около 700 различных книг, исследований и диссертаций остались в научном наследии великого математика. Петербургская академия опубликовала их в течение 50 лет после смерти Эйлера. Наиболее важные работы Эйлера, которые являются фундаментальными, и это не преувеличение: введение в «Analysin Infinitorum» (1748), «Institutiones Calculus Differentialis» (1755) и «Institutiones Calculi Integralis» (1770). Это трилогия, которая представляет собой сборник математических знаний восемнадцатого века. Она является личным вкладом Эйлера в развитие современной математики.

2.1. Теория чисел

Эйлер продолжил исследования Ферма. Он строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил в содержательную теорию чисел. Он ввёл в математику исключительно важную «функцию Эйлера» и сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий Эйлера.

Он опроверг гипотезу Ферма. Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы двух квадратов.

Дал одно из решений задачи о четырёх кубах.

Ввел дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствии имя Римана, где произведение берётся по всем простым числам. Благодаря этому он доказал, что сумма ряда обратных простых расходится.

Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и n = 4, создал полную теорию непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию разбиений чисел на слагаемые.

В задаче о количестве разбиений натурального числа n получил формулу, выражающую производящую функцию числа разбиений p(n) через бесконечное произведение.

Он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел. В основе её лежат тождество Эйлера и общий метод производящих функций.

Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза Эйлера — квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом.

1. 2. Математический анализ

Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были опубликованы в данных трудах.

Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера — Маскерони.

Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения Эйлера — Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению.

Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций — тоже его заслуга, так же как и их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера — Эйлера».

Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы — ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения.

С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными, но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превзошло стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX — начале XX века.

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрозненны и не всегда согласованны, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте «формула Эйлера», операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.

По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и др.  Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.