Лекция.  Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций.

         Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII века Лейбницем, состоит в следующем:

Значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке x, т.е.       

         k = f ’(x) = tg φ

         Рассмотрим задачу.

         Определение: прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в этой точке.

Если кривая определена уравнением  , то уравнение касательной к ней в точке   имеет вид:

а уравнение нормали:

Как Вы заметили нам нужно найти производную, чтобы написать уравнение касательной или нормали. 

Существуют общие правила нахождения производной:

(в пояснении    – это у(x +∆x)  )

Применим эти правила и найдем производную функции y=5x

1. y(x +∆x)  = 5(x +∆x) = 5x + 5∆x
2. ∆y = y(x +∆x) –  y(x) = (5x + 5∆x) – 5x = 5∆x
3.  =  = 5
4. 

Таким образом, мы нашли производную функции, пользуясь непосредственным определением производной.

Но это не очень удобно, хотя и позволяет вычислить производную любой элементарной функции.

Вспомним, элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать

 Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство            (c f (x))' = c f ' (x) , где  c – любое число.

   Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

Правило 2 (производная суммы функций).

Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

Правило 3 (производная разности функций).

Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

Правило 4 (производная произведения двух функций).

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

   Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

 Правило 5 (производная частного двух функций).

Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Рассмотрим пример нахождения производной.

  

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Занятие 5 «Производные элементарных функций» стр. 180-182.

Вопросы и упражнения, задание 5, примеры 1-6.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/
2. https://www.resolventa.ru/
3. https://egemaximum.ru/