Лекция. Простейшие тригонометрические неравенства.

Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком

тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sin x > a, sin x ≥ a, sin x< a, sin x ≤ a,
cos x > a, cos x ≥ a, cos x < a, cos x ≤ a,
tg x > a, tg x ≥ a, tg x < a, tg x ≤ a,
ctg x > a, ctg x ≥ a, ctg x < a, ctg x ≤ a.
Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Вспомним тригонометрическую окружность, сегодня нам это очень пригодится.

 

 

1. Решить неравенство:   

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов       Все значения   , меньшие   – левее точки    на оси косинусов.

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрической окружности косинус которых будет меньше 

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки     до  .

Обратите внимание, многие, назвав первую точку      вместо второй  точки    указывают точку     , что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения 

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой». Не забываем   

2. Решить неравенство: 

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов     Все значения      , большие или равные      – правее точки     , включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы   отвечают тому условию, что   .

 

 

3. Решить неравенство: 

Решение:

Отмечаем на оси синусов  Все значения        , большие или равные      – выше точки     , включая саму точку.

Рассмотрим выделенные точки на тригонометрической окружности:

 

Идем по окружности от    к   

 

 

4. Решить неравенство: 

Решение:

Кратко:

    или все x , кроме    

 

5. Решить неравенство: 

Решение:

Неравенство    равносильно уравнению    , так как область значений функции      находится в промежутке 

 

6. Решить неравенство: 

Решение:

Единственное отличие данного неравенства, то что мы имеем дело не с табличным значением синуса.

Зная определение арксинуса, запишем:

Мы с движемся против часовой стрелки, поэтому необходимо, чтобы левый конец промежутка был меньше правого.

Как это записать – надо добавить к  еще , тогда правый конец промежутка будет больше. Вы в этом убедитесь, если возьмете n=0, просто посчитайте.

При решении простейших тригонометрических неравенств, содержащих функции тангенса и котангенса, необходимо помнить об области определения этих функций.

Область определения функции тангенс ,

Область определения функции котангенс     .

7. Решить неравенство: 

Решение: 

Решим тригонометрическое уравнение

Отмечаем все точки тригонометрической окружности, значение тангенса в которых будет меньше 1.  Для этого мы мысленно соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрическую окружность Вот эти-то точки нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.

При решении неравенства нет необходимости рисовать тригонометрическую окружность. В данной лекции показано наглядно, что мы исключаем те точки, где функция тангенса не определена.

Все подходящие значения   можно записать в виде следующего двойного неравенства:

 или так 

8. Решить неравенство: 

Решение: 

Решим тригонометрическое уравнение  ,  

Все подходящие значения x   можно записать в виде следующего двойного неравенства:

9. Решить неравенство: 

Решение:

Решим тригонометрическое уравнение                         

 

Все подходящие значения x можно записать в виде следующего двойного неравенства:   

10. Решить неравенство: 

Решение: 

Решим тригонометрическое уравнение

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения:

sin x ≥  ;                cos x˃

 

sin x ˃  ;                cos x≤ 

 

 Глава 6. Основы тригонометрии» стр.93 – 120.

Занятие 5 «Тригонометрические уравнения» стр.114 – 119.

см. учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/
2. https://www.resolventa.ru/
3. https://egemaximum.ru/