Контрольные вопросы «Абсолютная погрешность и ее граница. Верные цифры числа.

Относительная погрешность и ее граница. Приближенные вычисления; действия

с приближенными значениями вычислений. Вычисления с наперед заданной точностью»

Ответы: I вариант

Решение I вариант

При извлечении корня сохраняют столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении, однако,

по условию задачи необходимо взять приближенные значения корней с точностью до 0,001, тогда

 – учитываем точность

   (∆а = 0,001)

2. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле

S=a*h, в условии даны измерения со всеми значащими цифрами

a = 68,7 (значит ∆а = 0,5)

h = 52,6 (значит ∆h = 0,5)

S=a*h = 68,7 * 52,6 = 3613,62 используем правило округления до значащих цифр

S = 3610

Чтобы указать значащие цифры, необходимо знать границу абсолютной погрешности площади ∆S

 - граница абсолютной погрешности произведения        

Это значит, что S = 3600 (3600±72) и верные цифры 3 и 6

3. а = 7,36 ± 0,004, здесь ∆а = 0,004

b = 8,61 ± 0,005, здесь ∆b = 0,005

a*b= 7,36 * 8,61 = 63,3696   

Окончательно:  a*b = 63,4 ± 0,1

4.    испоользуем формулу относительной погрешности для квадратного корня

5. R = 8,  

S=π*R² – площадь круга, если учитывать приближенное значение числа π как константу, то используем формулу

границы относительной погрешности квадрата, тогда

 , запишем границу относительной погрешности, равную 0,5%, как 0,005 и решим неравенство

  ,значит точность измерения радиуса круга 0,02 м

Примеры решения задач

В а р и а н т    2.     1.       2. 0,750     3. 9,1 ± 0,35

Краткий конспект для подготовки к зачету

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

При вычислении производных  применяются следующие правила:     Видеоразбор на канале в Телеграмм

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Например:

2. Производная суммы и разности функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

3. Производная произведения функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

4. Производная частного двух функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

Задача 

Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону

 , где s(t) измеряется в метрах, а время t в секундах.

Найти:

а) Скорость тела в начальный момент;

б) Скорость тела в момент соприкосновения с землей;

в) Наибольшую высоту подъема тела.

Решение:

Тело движется по параболе, это очевидно, т.к. уравнение, которое описывает движение тела – уравнение параболы (уравнение движения).

а) Скорость тела в начальный момент момент равна первой производной от пути, который описывается уравнением  

В момент t=0,

б) В момент соприкосновения с землей       

 т.е. решаем уравнение  

получаем:   , второй корень нам не подходит по смыслу, т.к. время t не может быть отрицательным в классической физике.

Значит, скорость в момент

 м/с

(минус указывает на то, что скорость тела в момент времени

 противоположна направлению начальной скорости.

в) Наибольшая  высота подъема   будет в момент, когда скорость тела равна нулю (в точке максимума функции) и происходит переход от подъема тела к спуску

(переход от возрастания функции к ее убыванию, критическая точка, в которой производная функции равна 0)

,  t = 0,8 с.

Подставляем в уравнение движения

Значит, наибольшая высота подъема равна 8,2 м.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

| х – а | = ∆  – абсолютная погрешность

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью

   – относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %

Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:

Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:

х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

∆а = δ ∙ |а|

Задачи:

• Скорость света в вакууме 299792,5 ± 0,4 км/ч

Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с

Какое измерение точнее?

   – значит скорость света точнее

• Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля, если она равна 2,5 ± (15%)

Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем

∆а = δ ∙ |а|

0,15*2,5 = 0,375 ≈ 0,4

Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9

• Какие из равенств точнее:     ?

     , значит   точнее

Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых

А = 240 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Скорость света в вакууме (в км/с):

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия <100, значит ∆а=100, далее по формуле

Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое опредление вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А

n – число всех исходов (количество всех опытов) тогда вероятность наступления события А:

P(A)= m/ n Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1) Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1 0≤Р(А)≤1

2) Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0

3) Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Задачи на классическое определение вероятности

Задача 1

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая.

Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

В чемпионате принимает участие 20 – 8 – 7 = 5 - спортсменок из Китая.

Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

P(A) = m/ n = 5 /20 = 0,25

Ответ : 0,25

Условие  "из" и "на" 

Задача 2

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: в среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу,

1000 − 5 = 995 не подтекают.

Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Р (А) = 995/ 1000 = 0,995

Ответ : 0,995

Задача 3

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

Всего сумок 100 + 8 = 108 (здесь можно сказать так: на 100 качественных сумок приходится (+) 8 бракованных).

Значит, вероятность того, что купленная сумка

окажется качественной, равна Р (А) = 100/ 108 = 0,925925 ≈ 0,93

Ответ : 0,93

Задача 4

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение.

За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов.

Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна

12 /75 = 0,16

Ответ : 0,16

Задача 5

65 спортсменов приехали на парные соревнования, из них 17 российских спортсменов. Петров хочет выступать только в паре с соотечественником. Определите вероятность этого события.

Решение.

В задаче сказано о парах спортсменов, значит 1 место в паре уже выбрано - Петров,

тогда на второе место в паре претендуют 17- 1 = 16 российских спортсменов, а всего спортсменов 65-1=64

Значит, вероятность события Р(А)= 16/64 = 0,25

Ответ: 0,25

Задача 6

Завод производит 34% всех железнодорожных вагонов в стране. Какова вероятность того, что случайно выбранный железнодорожный вагон произведен на этом заводе?

Решение:

34% ----> 34/100 = 0,34

Ответ: 0,34

Задачи на теоремы о вероятностях события

Несовместимые события - не могут наступить одновременно, наступление одного из них исключает наступление другого.

Для нахождения вероятности того, что наступит или одно событие, или другое, нужно сложить вероятности этих событий (если они несовместимы)

Задача 1

Вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач из предложенных, равна 0,68. Вероятность того, что больше шестнадцати задач, равна 0,59. Найдите вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач.

Решение:

Пусть Р(А) - "вероятность того, что Сергей решит ровно 16 задач" =?

Р(В) - "вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач" =0,68

Р(С) - "вероятность того, что больше 16 задач" = 0,59

"вероятность того, что Сергей решит больше 15 задач"

Р(В) = Р(А) + Р(С) тогда

Р(А)=Р(В)-Р(С) = 0,68 - 0,59 = 0,09

Ответ: 0,09

Задача 2

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89.

Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть Р(A) - «вероятность, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет» = ?

Р(В) - «вероятность, что чайник прослужит больше года» = 0,97

Р(С) - «вероятность, что чайник прослужит больше двух лет» = 0,89

тогда Р(В) =  Р(А) + Р(С) = «чайник прослужит больше года».

получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08

Ответ: 0,08

Независимые события - вероятность любого из двух событий не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Для нахождения вероятности того, что одновременно наступят и одно событие и другое, нужно перемножить вероятности этих событий (если события независимы)

Задача 3

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7.

Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение.

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что мишень поражена со второго выстрела.

Вероятность события A равна P(A)=0,7.

Событие B наступает, если, стреляя первый раз, стрелок промахнулся (вероятность того, что стрелок промахнулся равна 1-0,7=0,3)

а, стреляя второй раз, попал.

Это независимые события, их вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21.

События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ : 0,91

По ссылке Вы можете пройти тест "Задачи по теории вероятностей".

В тест включены задачи из сборников ОГЭ и ЕГЭ по математике обязательного уровня. Оценка выставляется сразу

https://onlinetestpad.com/ohr7s6amnwebc