Действия с приближенными числами.

На практике пользуются более простыми правилами, которые называются

Правила подсчета цифр:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Найдите произведение двух приближенных чисел: 0,3862 * 0,85

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

(Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие))

При решении некоторых задач возникает необходимость указать верные цифры результата,

т.е. найти границу абсолютной погрешности результата вычислений.

На практике сначала находят относительную погрешность результата, а затем, используют формулу:

Формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице.

Задача:

Решение:

Так как a=0,3862 то ∆a=0,00005  , b = 0,8 значит ∆b=0,05

Находим границу абсолютной погрешности произведения по формуле

(Н.В. Богомолов Практические занятия по математике)

Контрольные вопросы «Абсолютная погрешность и ее граница. Верные цифры числа.

Относительная погрешность и ее граница. Приближенные вычисления; действия

с приближенными значениями вычислений. Вычисления с наперед заданной точностью»

Ответы: I вариант

Решение I вариант

При извлечении корня сохраняют столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении, однако,

по условию задачи необходимо взять приближенные значения корней с точностью до 0,001, тогда

 – учитываем точность

   (∆а = 0,001)

2. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле

S=a*h, в условии даны измерения со всеми значащими цифрами

a = 68,7 (значит ∆а = 0,5)

h = 52,6 (значит ∆h = 0,5)

S=a*h = 68,7 * 52,6 = 3613,62 используем правило округления до значащих цифр

S = 3610

Чтобы указать значащие цифры, необходимо знать границу абсолютной погрешности площади ∆S

 - граница абсолютной погрешности произведения        

Это значит, что S = 3600 (3600±72) и верные цифры 3 и 6

3. а = 7,36 ± 0,004, здесь ∆а = 0,004

b = 8,61 ± 0,005, здесь ∆b = 0,005

a*b= 7,36 * 8,61 = 63,3696   

Окончательно:  a*b = 63,4 ± 0,1

4.    испоользуем формулу относительной погрешности для квадратного корня

5. R = 8,  

S=π*R² – площадь круга, если учитывать приближенное значение числа π как константу, то используем формулу

границы относительной погрешности квадрата, тогда

 , запишем границу относительной погрешности, равную 0,5%, как 0,005 и решим неравенство

  ,значит точность измерения радиуса круга 0,02 м

Примеры решения задач

В а р и а н т    2.     1.       2. 0,750     3. 9,1 ± 0,35

Краткий конспект для подготовки к зачету

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

4. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
5. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике  №17

Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

0,3281 ± 0,05

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная,

2 – сомнительная, 3 – верная цифра  

Погрешность округления:

|0,3281 – 0,3| = 0,0281

0,05 + 0,0281 = 0,0781   

Ответ: 0,3 ± 0,08

2,0637 ± 0,0025

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,0025 (разряд – тысячные) цифры справа налево:7 – сомнительная,  3 – сомнительная,

6 – верная, 0 – верная, 2 - верная цифра  

Погрешность округления:

|2,0637 – 2,06| = 0,0037

0,0025 + 0,0037 = 0,0062

Ответ: 2,06 ± 0,006

14,0367 ± 0,8

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,8 (разряд – десятые) цифры справа налево:7 – сомнительная,  6 – сомнительная,

3 – сомнительная, 0 – сомнительная, 4 – верная, 1 - верная цифра   

Погрешность округления:

|14,0367 – 14| = 0,0367

0,8 + 0,0367 = 0,8367

Ответ: 14 ± 1

24,734 ± 0,06

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,06 (разряд – сотые) цифры справа налево: 4 – сомнительная,  3 – сомнительная,

7 – верная,  4 – верная, 2 - верная цифра   

Погрешность округления:

|24,734 – 24,7| = 0,034

0,06 + 0,034 = 0,094

Ответ: 24,7 ± 0,1

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

| х – а | = ∆  – абсолютная погрешность

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью

   – относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %

Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:

Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:

х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

∆а = δ ∙ |а|

Задачи:

• Скорость света в вакууме 299792,5 ± 0,4 км/ч

Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с

Какое измерение точнее?

   – значит скорость света точнее

• Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля, если она равна 2,5 ± (15%)

Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем

∆а = δ ∙ |а|

0,15*2,5 = 0,375 ≈ 0,4

Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9

• Какие из равенств точнее:     ?

     , значит   точнее

Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых

А = 240 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Скорость света в вакууме (в км/с):

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия <100, значит ∆а=100, далее по формуле

Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Действия с приближенными числами. Погрешности